En calcul stochastique , l'intégrale de Stratonovich (aussi intégrale de Fisk-Stratonovich ) est un type d'intégrale stochastique . Contrairement à l'intégrale d'Itô , où seul le point final gauche de l'intervalle de décomposition est nécessaire pour la construction
∑
Y
t
i
−
1
(
X
t
i
−
X
t
i
−
1
)
,
{\displaystyle \sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),}
dans l'intégrale de Stratonovich, on utilise la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite
∑
1
2
(
Y
t
i
+
Y
t
i
−
1
)
(
X
t
i
−
X
t
i
−
1
)
.
{\displaystyle \sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}
L'avantage de l'intégrale de Stratonovich sur l'intégrale d'Itô est que la formule d'Itô n'a que des différentiels du premier ordre.
L'intégrale de Fisk-Stratonovich porte le nom de Ruslan Stratonovich et Donald Fisk .
Intégrale de Stratonovich pour les semi-martingales
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Soit
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
semi-martingales et
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
intégrale de Stratonovich de Y par rapport à X est définie comme
∫
0
t
Y
s
−
∘
d
X
s
:
=
∫
0
t
Y
s
−
d
X
s
+
1
2
[
Y
,
X
]
t
−
1
2
∑
s
≤
t
Δ
Y
s
Δ
X
s
=
∫
0
t
Y
s
−
d
X
s
+
1
2
[
Y
,
X
]
t
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}}
La première expression à droite est juste l'intégrale d'Itô[ 1]
Pour les semi-martingales continues
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Si
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
∫
0
t
Y
s
∘
d
X
s
:=
∫
0
t
Y
s
d
X
s
+
1
2
[
Y
,
X
]
t
=
(
Y
⋅
X
)
t
+
1
2
[
Y
,
X
]
t
,
{\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},}
ou sous forme différentielle
Y
t
∘
d
X
t
:=
Y
t
d
X
t
+
1
2
d
[
Y
,
X
]
t
.
{\displaystyle Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.}
La définition de l'intégrale de Stratonovich peut être généralisée, de sorte que Y n'est plus une semi-martingale, mais simplement adaptée et càdlàg . L'intégrale de Stratonovich est obtenue en prenant la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite de l'intervalle de décomposition. Soit
Δ
{\displaystyle \Delta }
subdivision de
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
∫
0
t
Y
s
∘
d
X
s
=
lim
|
Δ
|
→
0
∑
i
=
1
n
Y
t
i
+
Y
t
i
−
1
2
(
X
t
i
−
X
t
i
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}=\lim \limits _{|\Delta |\to 0}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}}}{2}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).\end{aligned}}}
Relation entre l'intégrale de Itô et de Stratonovich
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On a la relation suivante :
∫
0
t
Y
s
−
d
X
s
=
∫
0
t
Y
s
−
∘
d
X
s
−
1
2
[
Y
,
X
]
t
c
.
{\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.}
Si X et Y sont des semi-martingales continues
(
Y
⋅
X
)
t
=
∫
0
t
Y
s
∘
d
X
s
−
1
2
[
Y
,
X
]
t
.
{\displaystyle (Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.}
Soit
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
∈
C
2
(
R
n
,
R
)
{\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}
[ 2]
f
(
X
t
)
−
f
(
X
0
)
=
∑
i
=
1
n
∫
0
+
t
∂
f
∂
x
i
(
X
s
−
)
∘
d
X
s
i
+
∑
0
<
s
≤
t
(
f
(
X
s
)
−
f
(
X
s
−
)
−
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
(
X
s
−
)
Δ
X
s
i
)
{\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right)}
Pour les semimartingales continue
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Soit
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X=(X^{1},\dots ,X^{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
∈
C
2
(
R
n
,
R
)
{\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}
f
(
X
t
)
−
f
(
X
0
)
=
∑
i
=
1
n
∫
0
t
∂
f
∂
x
i
(
X
s
)
∘
d
X
s
i
.
{\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s})\circ dX_{s}^{i}.}
Une généralisation pour les semi-martingales avec sauts est l'intégrale de Marcus , qui est obtenue en réécrivant le terme de saut.
Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations , Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4 Notes et références
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↑ Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations , Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4 , p. 82 ↑ Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations , Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4 , p. 277-278 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e261394d914983f2949492796d85a19063eae34a)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d047ed0d5fdc6e2eca6c11eb014e28a32e89fb0b)
![{\displaystyle Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfcc6fda25b5f85f593f0a2bd3e4b0a98ba1c30)
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4becec84f74c46c5f08e6e2e10e3a988916715)
![{\displaystyle (Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b90d5525f330d2fe70dfbdb8818f474ae45656)
