Opérateur différentiel

Opérateur agissant sur des fonctions différentiables

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

  • Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  • Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

ExemplesModifier

L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :

  ou  , ou encore   ou  .

La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :

 

Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :

 ,   ou encore  

La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :

 , ou :  

Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base Cartésienne  , par :

 

ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :

 

Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par[1]

  ou, dans le cas de plusieurs variables,  

NotationsModifier

Soit   un ouvert de  , et   un point de  . On introduit les   coordonnées  . Supposons que l'on ait une fonction des   variables  .

Dérivées du premier ordreModifier

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée   par le symbole :

 

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel   du premier ordre défini par :

 

Dans cette définition,   est la « racine de l'unité » complexe :  . L'intérêt de définir cet opérateur   apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice   est un  -uplet d'entiers

 

Sa longueur   est définie comme la somme des   et on définit enfin la multi-factorielle :

 

Dérivées d'ordres plus élevésModifier

  • La dérivée partielle d'ordre   par rapport à la coordonnée   correspond au symbole :
 
  • On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global   :
 
  • Et les opérateurs différentiels  , d'ordre global   :
 

Définition d'un opérateur différentielModifier

DéfinitionModifier

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre   est défini par :

 

où les   sont des fonctions de   variables, appelées coefficients de l'opérateur  .

Propriété de localitéModifier

Un opérateur différentiel   est local au sens où, pour déterminer ses effets   sur une fonction   suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point   est nécessaire.

Transformée de FourierModifier

Introduction de la transformée de FourierModifier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction   de   variables   par :

 

Dans cette définition :

  • on note   le  -uplet constitué des variables :  .
  • la mesure est :  .
  • le facteur   dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire : .

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

 

où la mesure est :   avec  .

Application aux opérateurs différentielsModifier

Appliquons l'opérateur différentiel   à la représentation de Fourier de la fonction  . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

 

qu'on peut écrire :  . On en déduit que :

 

où :  . L'opérateur différentiel   d'ordre   vérifie donc la relation :

 

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

 

Symbole d'un opérateur différentielModifier

On appelle symbole de l'opérateur différentiel   d'ordre   la fonction   des   variables   polynomiale en   de degré   :

 

de telle sorte que :

 

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur   à partir de son symbole  . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients   ne sont pas constants, le symbole   dépend des coordonnées d'espace  , et l'expression   n'est pas la transformée de Fourier de  , c’est-à-dire que :

 

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentielModifier

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel   d'ordre   la fonction :

 

Classification des opérateurs différentielsModifier

Opérateur elliptiqueModifier

L'opérateur différentiel   est dit elliptique au point   si et seulement si :

 

  est dit elliptique dans   s'il est elliptique pour tout point  .

Opérateur hyperboliqueModifier

L'opérateur différentiel   est dit hyperbolique dans la direction   au point   si et seulement si :   et si, pout tout   non colinéaire à  , les racines   de l'équation :

 

sont toutes réelles. Si, de plus, les   racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur   est dit strictement hyperbolique dans la direction  .

  est dit (strictement) hyperbolique dans la direction   dans   s'il est strictement hyperbolique dans la direction   pour tout point  .

Exemples importants pour la physique théoriqueModifier

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacienModifier

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

  • en coordonnées cartésiennes dans   :
     
  • soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
     

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertienModifier

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes   dans   :

 

  est le laplacien à   variables d'espace,   est le temps, et   une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse   dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleurModifier

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes   dans   :

 

  est le laplacien à   variables d'espace,   est le temps, et   est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Opérateur différentiel à coefficients constantsModifier

Si les coefficients   sont indépendants des   variables d'espace  , le symbole de l'opérateur différentiel   d'ordre   est seulement une fonction   des   variables   polynomiale en   :

 

de telle sorte que :

 

Le symbole principal de l'opérateur différentiel   d'ordre   à coefficients constants est la fonction des   variables   :

 

Cas généralModifier

On a vu que plus haut :

 

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients   ne sont pas constants, le symbole   dépend des coordonnées d'espace  , et on a :

 

Expression de la transformée de FourierModifier

Partons de la relation générale :

 

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

 

on obtient :

 

soit :

 

A   fixé, on fait le changement de variable :  , ce qui donne :

 

On reconnait le produit de convolution :

 

d'où :

 

qu'on peut réécrire :

 

Notes et référencesModifier

  1. (en) E. W. Weisstein, « Theta Operator » (consulté le 12 juin 2009)

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Articles connexesModifier