Temps d'arrêt

notion en mathématique probabiliste

En théorie des probabilités, en particulier dans l'étude des processus stochastiques, un temps d'arrêt (également appelé temps d'arrêt optionnel, et correspondant à un temps de Markov ou moment de Markov défini[1]) est une variable aléatoire dont la valeur est interprétée comme le moment auquel le comportement d'un processus stochastique donné présente un certain intérêt. Un temps d'arrêt est souvent défini par une règle d'arrêt, un mécanisme permettant de décider de poursuivre ou d'arrêter un processus sur la base de la position actuelle et des événements passés[2].

Ce temps d'arrêt peut être par exemple le moment où un processus stochastique prend fin, ou, dans un processus de Poisson et autres processus de Lévy à accroissements indépendants stationnaires, le moment d'un « saut » incrémental[2].

Cette notion de temps d'arrêt ne s'appuyant sur aucun évènement futur est étroitement lié à la propriété forte des processus de Markov[1].

Les temps d'arrêt jouent un rôle important dans la théorie de la décision, et dans les martingales, sont régis par le théorème d'arrêt de Doob (ou théorème d'arrêt optionnel)[2].

DéfinitionsModifier

Définition — Une variable aléatoire   est un temps d'arrêt par rapport à une filtration   si,

 

ou bien, de manière équivalente, si,

 

InterprétationModifier

Imaginons que   désigne ici la tribu engendrée par la suite   et que les variables aléatoires   représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états   fini ou dénombrable, une partie   appartient à   si et seulement s'il existe   tel que

 

Supposons que   représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer :   est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout   il existe un sous ensemble   tel que :

 

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

NotationsModifier

  • Soient   une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration  . Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté   et est défini par
 
Sur l'ensemble   la définition de   est problématique : l'ambigüité est de facto levée en posant  
  • Soit   un temps d'arrêt et soit  
    •   est la variable aléatoire définie par  
    •   est la variable aléatoire définie par  .

PropriétésModifier

Propriété — Soit   un temps d'arrêt, soit  . Alors   et   sont des temps d'arrêt.

Propriété — De même, si   sont des temps d'arrêt, alors   en est un.

Définition et propriété — Soit   un temps d'arrêt et   est appelé évènement antérieur à   si:

 

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de   appelée tribu antérieure à   et notée  

Proposition — Soient   et   deux temps d'arrêt tels que   p.s.. On a alors  .

Lemme — Soit   une variable aléatoire  -mesurable.   est  -mesurable ssi   est  -mesurable.

Proposition —   est  -mesurable.

Exemples et contrexemplesModifier

Considérons une suite   de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble   et notons   la tribu engendrée par la suite   Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration   :

  • Soit   un élément de   ; on appelle instant de premier retour en   et on note   la variable aléatoire définie ci-dessous :
 
  • De même pour   une partie de   on appelle instant de première entrée dans   et on note   la variable aléatoire ci-dessous définie :
 
  • L'instant de  -ème retour en   noté   et défini par récurrence par :
 
ou encore l'instant de  -ème entrée dans   sont des t.a..
  • Pour   et   dans   on pose   On peut montrer que   n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre,   est un temps d'arrêt.

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-94-009-5991-0, lire en ligne), p. 100, 110.
  2. a b et c (en) Geoffrey Grimmett et David Stirzaker, Probability and random processes, Oxford ; New York : Oxford University Press, (ISBN 978-0-19-857223-7 et 978-0-19-857222-0, lire en ligne), p. 263, 264, 498, 499.

Articles connexesModifier