Propriété de Markov

En probabilité, un processus stochastique vérifie la propriété de Markov si et seulement si la distribution conditionnelle de probabilité des états futurs, étant donnés les états passés et l'état présent, ne dépend en fait que de l'état présent et non pas des états passés (absence de « mémoire »). Un processus qui possède cette propriété est appelé processus de Markov. Pour de tels processus, la meilleure prévision qu'on puisse faire du futur, connaissant le passé et le présent, est identique à la meilleure prévision qu'on puisse faire du futur, connaissant uniquement le présent : si on connait le présent, la connaissance du passé n'apporte pas d'information supplémentaire utile pour la prédiction du futur.

Exemple de processus stochastique vérifiant la propriété de Markov: un mouvement Brownien (ici représenté en 3D) d'une particule dont la position à un instant t+1 ne dépend que de la position précédente à l'instant t.

Propriété de Markov faible (temps discret, espace discret)Modifier

DéfinitionModifier

C'est la propriété caractéristique d'une chaîne de Markov : en gros, la prédiction du futur à partir du présent n'est pas rendue plus précise par des éléments d'information supplémentaires concernant le passé, car toute l'information utile pour la prédiction du futur est contenue dans l'état présent du processus. La propriété de Markov faible possède plusieurs formes équivalentes qui reviennent toutes à constater que la loi conditionnelle de   sachant le passé, i.e. sachant   est une fonction de   seul :

Propriété de Markov faible « élémentaire » —  Pour tout   pour toute suite d'états  

 

On suppose le plus souvent les chaînes de Markov homogènes, i.e. on suppose que le mécanisme de transition ne change pas au cours du temps. La propriété de Markov faible prend alors la forme suivante :

 
 

Cette forme de la propriété de Markov faible est plus forte que la forme précédente, et entraîne en particulier que

 

Dans la suite de l'article on ne considèrera que des chaînes de Markov homogènes. Pour une application intéressante des chaînes de Markov non homogènes à l'optimisation combinatoire, voir l'article Recuit simulé.

La propriété de Markov faible pour les chaînes de Markov homogènes a une autre forme, beaucoup plus générale que la précédente, mais pourtant équivalente à la précédente :

Propriété de Markov faible « générale » —  Pour n'importe quel choix de  

 

Notons que les évènements passés   et futurs   prennent ici la forme la plus générale possible, alors que l'évènement présent   reste sous une forme particulière, et pas par hasard : si on remplace   par   dans l'énoncé ci-dessus, alors l'énoncé devient faux en général, car l'information sur le passé devient utile pour prévoir le présent (où   peut-il bien se trouver, plus précisément, à l'intérieur de la partie   ?), et, partant de là, pour prévoir le futur.

Contre-exemple de la marche aléatoire sur   :

Si   et   on parle de marche aléatoire sur   Supposons que   Alors, par exemple,

 

alors qu'on peut facilement trouver   et   tels que

 

Ainsi, du fait d'une connaissance imprécise ( ) du présent, certaines informations concernant le passé permettent d'améliorer le pronostic : sachant que Xn-1 = 0, on en déduit que Xn n'est pas nul, donc que Xn est égal à 1, puis on conclut que Xn+1 ne peut être égal à 1. Par contre, sans l'information Xn-1 = 0, on ne peut exclure que Xn+1 soit égal à 1.

Pourtant, la marche aléatoire sur   est une chaîne de Markov, et possède bien la propriété de Markov. Il n'y a pas de contradiction, ici : la propriété de Markov stipule que, lorsque l'on a une connaissance précise (Xn = i) du présent, aucune information concernant le passé ne permet d'améliorer le pronostic.

Il existe une propriété de Markov forte, liée à la notion de temps d'arrêt : cette propriété de Markov forte est cruciale pour la démonstration de résultats importants (divers critères de récurrence, loi forte des grands nombres pour les chaînes de Markov).

Indépendance conditionnelleModifier

La propriété de Markov faible « générale » entraine que

Indépendance conditionnelle —  Pour n'importe quel choix de  

 
 

Cette égalité exprime l'indépendance conditionnelle entre le passé et le futur, sachant le présent (sachant que  ). Cependant, si l'on compare avec la propriété de Markov faible « générale » telle qu'énoncée plus haut, on constate qu'on a perdu la propriété d'homogénéité : la propriété de Markov faible « générale » est en fait équivalente à la propriété plus forte

Indépendance conditionnelle et homogénéité —  Pour n'importe quel choix de  

 
 

CritèreModifier

Critère fondamental — Soit une suite   de variables aléatoires indépendantes et de même loi, à valeurs dans un espace  , et soit   une application mesurable de   dans   Supposons que la suite   est définie par la relation de récurrence :

 

et supposons que la suite   est indépendante de   Alors   est une chaîne de Markov homogène.

Collectionneur de vignettes (coupon collector) :

Petit Pierre fait la collection des portraits des onze joueurs de l'équipe nationale de football, qu'il trouve sur des vignettes à l'intérieur de l'emballage des tablettes de chocolat Cémoi ; chaque fois qu'il achète une tablette il a une chance sur 11 de tomber sur le portrait du joueur n°  (pour tout  ). On note   l'état de la collection de Petit Pierre, après avoir ouvert l'emballage de sa  -ème tablette de chocolat.   est une chaîne de Markov partant de  , car elle rentre dans le cadre précédent pour le choix   puisque

 

où les variables aléatoires   sont des variables aléatoires indépendantes et uniformes sur   : ce sont les numéros successifs des vignettes tirées des tablettes de chocolat. Le temps moyen nécessaire pour compléter la collection (ici le nombre de tablettes que Petit Pierre doit acheter en moyenne pour compléter sa collec') est, pour une collection de   vignettes au total, de    est le  -ème nombre harmonique. Par exemple,   tablettes de chocolat.

Remarques :
  • La propriété de Markov découle de l'indépendance des   elle reste vraie lorsque les   ont des lois différentes, et lorsque la « relation de récurrence »   dépend de   Les hypothèses faites en sus de l'indépendance sont là uniquement pour assurer l'homogénéité de la chaîne de Markov.
  • Le critère est fondamental en cela que toute chaîne de Markov homogène peut être simulée exactement via une récurrence de la forme   pour une fonction   bien choisie. Plus précisément, si   est une chaîne de Markov homogène, il existe un quintuplet    désigne un espace de probabilité,   est une variable aléatoire à valeurs dans   et où   est une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans     et   étant définies sur   et indépendantes, et il existe une application   définie de   dans   telles que la suite   définie par
 
ait même loi que la suite  
  • On peut même choisir   et choisir des variables   indépendantes et uniformes sur l'intervalle [0,1], ce qui est commode pour l'étude de chaînes de Markov via des méthodes de Monte-Carlo, i.e. par simulation de trajectoires « typiques » de chaînes de Markov.

Propriété de Markov forte (temps discret, espace discret)Modifier

Temps d'arrêtModifier

Notons   la tribu engendrée par la suite   Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états   fini ou dénombrable, une partie   appartient à   si et seulement s'il existe   tel que

 

Définition — Une variable aléatoire   est un temps d'arrêt de la chaîne de Markov   si

 

ou bien, ce qui est équivalent, si

 

Interprétation. Imaginons que les variables aléatoires   représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu, et que   représente la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer :   est un temps d'arrêt si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout   il existe un sous ensemble   tel que :

 

Cela interdit au joueur de prendre sa décision en fonction des résultats des parties futures : cela revient à faire l'hypothèse que tricherie et don de double vue sont exclus.

Pour une définition d'un temps d'arrêt en situation générale on pourra regarder

Exemples :

Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt :

  • Soit   un état de la chaîne de Markov ; on appelle instant de premier retour en   et on note   la variable aléatoire définie ci-dessous :
 
On arrête donc de jouer dès qu'on arrive à l'état   mais sans compter l'état initial. Si on remplace   par   dans la définition, on parle de temps d'entrée, plutôt que de temps de retour.
  • De même pour   une partie de   on appelle instant de première entrée dans   et on note   la variable aléatoire ci-dessous définie :
 
  • L'instant de  -ème retour en   noté   et défini par récurrence par :
 

ou encore l'instant de  -ème entrée dans   sont des t.a..

Contrexemple :

Pour   et   dans   on pose   On peut montrer que   n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre,   est un temps d'arrêt.

Définition et propriété — Soit   un temps d'arrêt et   est appelé évènement antérieur à   si:

 

L'ensemble des évènements antérieurs à   forme une sous-tribu de   appelée tribu antérieure à   et notée  

Interprétation. On sait que pour tout   il existe un sous ensemble   tel que :

 

Si de plus   cela signifie que pour tout   il existe un sous ensemble   tel que

 

En quelque sorte, on teste si l'évènement   se produit ou pas en observant le comportement de la suite   jusqu'au temps   par abus de langage, on dit parfois que l'évènement   porte sur la suite  

Propriété de Markov forteModifier

Dans l'énoncé général de la propriété de Markov faible, l'instant « présent », n, peut-être remplacé par un instant « présent » aléatoire,   pourvu que   soit un temps d'arrêt :

Propriété de Markov forte —  Pour un temps d'arrêt   de   et un élément   de   on a

 

Cela peut s'interpréter comme une forme d'indépendance (une indépendance conditionnelle ) entre le passé,   et le futur,   de   sachant ce qui se passe à l'instant   à savoir   En effet, en particularisant   on obtient que

 

puis, en revenant à un élément général   de  , on obtient la formulation suivante :

Indépendance conditionnelle — Pour un temps d'arrêt   de   et un élément   de   on a

 

Cas particulier des temps de retourModifier

Dans le cas où la chaîne de Markov est irréductible, où l'état   est récurrent, et où le temps d'arrêt   considéré est l'instant de k-ème retour en   noté plus haut   on constate que, par récurrence de l'état  

 

et que, par définition de  

 

Ainsi les conditions apparaissant dans la propriété de Markov forte sont presque certaines. Or, dès que   on a   Ici cela donne que

 

Pour tout k, il y a donc indépendance ( inconditionnelle ) entre les évènements qui précèdent le k-ème passage en   et les évènements qui suivent le k-ème passage en   Qui plus est, la trajectoire de la chaîne de Markov après le k-ème passage en   a même loi que la trajectoire d'une chaîne de Markov partant de   à l'instant 0 : elle redémarre comme neuve, indépendamment de ce qui a pu se passer auparavant. On dit alors que les temps de retour successifs sont des instants de renouvellement ou bien des instants de régénération.

Les morceaux de trajectoires entre deux régénérations consécutives forment alors une suite de variables aléatoires i.i.d. (sauf le premier morceau, indépendant, mais éventuellement de loi différente, si la chaîne de Markov ne part pas de   à l'instant 0). Cela conduit à une démonstration de la loi forte des grands nombres pour les chaînes de Markov déduite de la loi forte des grands nombres pour les v.a.r. i.i.d.. Cela donne également une méthode pour construire des intervalles de confiance pour les paramètres intéressants de la chaîne de Markov.

Propriété de Markov faible (temps continu, espace discret)Modifier

Mathématiquement, si X(t), t > 0, est un processus stochastique, et si x(t), t > 0, est une fonction, la propriété de Markov est définie ainsi :

 

Généralement, on utilise une hypothèse d'homogénéité dans le temps, c'est-à-dire :

 

Dans certains cas, un processus à première vue non-markovien peut tout de même avoir des représentations markoviennes en modifiant le concept d'état actuel et futur. Soient X un intervalle de temps, et Y un processus tel que chaque état de Y représente un intervalle de temps de X :

 

Si Y est markovien, alors c'est la représentation markovienne de X et X qui est alors appelée processus de Markov du second ordre. Les processus d'ordre supérieur sont définis de la même manière.

Équation de Chapman-Kolmogorov-SmoluchowskiModifier

C'est une équation intégrale qui assure la cohérence du processus :

 .

Elle se transforme en une équation aux dérivées partielles, plus facile à manipuler, qui prend le nom d'équation de Fokker-Planck.

RéférencesModifier

  1. Norris, J. : Markov Chains.
  2. (en) Y. K. Lin, Probabilistic Theory of Structural Dynamics, New York, Robert E. Krieger Publishing Company, , 368 p. (ISBN 0882753770)
  1. Philippe A. Martin, Introduction aux processus stochastiques en physique
  2. Ch. Ancey, Simulations stochastiques - Applications aux écoulements géophysiques et la turbulence

Voir aussiModifier