Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, muni d'une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M.

Cas des sous-variétésModifier

Supposons que   soit une sous-variété de classe   (k ≥ 1) et de dimension d de   ; on peut voir alors   comme l'ensemble des couples   formés d'un point   et d'un vecteur   tangent à   en  . (Passer à   permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe   et de dimension 2d de  . En effet, pour tout point de  , il existe un ouvert   et une submersion   (de classe  ) tels que  . On en déduit que

 

Mais l'application   est une submersion de classe   de   dans  

Exemple : Le fibré tangent au cercle   apparaît ainsi comme la sous-variété

 .

Il est difféomorphe au cylindre   (voir ci-contre).

Définition formelleModifier

On définit   en se donnant pour chaque ouvert   de   une trivialisation locale

 

  est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à   en n'importe quel   et pour chaque  ,   appartient à l'espace tangent à   en   .

Par ailleurs   doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si    et   sont des ouverts associés à des cartes   et   alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs   et  )

 

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Article connexeModifier

Fibré cotangent