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En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, le compactifié d'Alexandrov (parfois écrit compactifié d'Alexandroff) est un objet introduit par le mathématicien Pavel Aleksandrov. Sa construction, appelée compactification d'Alexandrov, généralise celle de la sphère de Riemann à des espaces localement compacts quelconques auxquels elle revient à ajouter un « point à l'infini ».

DéfinitionModifier

Soit   un espace topologique localement compact. On peut, en ajoutant un point à  , obtenir un espace compact. Pour cela, on considère   , et l'on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de   est constitué par :

  • les ouverts de   ;
  • les sous-ensembles de la forme  , où   est le complémentaire dans   d'un compact   de  .

On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur  , et que la topologie initiale sur   est identique à la topologie induite sur   par cette topologie sur  .

On vérifie enfin que   muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace   s'appelle alors le compactifié d'Alexandrov de l'espace localement compact   ;   s'appelle le point à l'infini de   et se note également  .

Cette notion ne présente d'intérêt que si l'espace de départ n'est pas compact. En effet, appliquer le procédé de compactification d'Alexandrov à un espace compact ne fait que lui ajouter un point isolé (car   est alors un ouvert de  ).

Si   et   sont deux espaces localement compacts, une application continue   se prolonge en une application continue entre les compactifiés d'Alexandrov si et seulement si elle est propre.

Il est à noter que cette construction s'applique également si   est seulement supposé quasi-compact ; on obtient alors un espace   quasi-compact et l'on a la propriété suivante :   est séparé (donc compact) si et seulement si   est localement compact[1].

UnicitéModifier

On montre facilement que partant d'un espace topologique localement compact   et d'un point donné  , le compactifié d'Alexandrov construit comme ci-dessus sur   est l'unique topologie possible sur   telle que :

  •   soit compact ;
  • la topologie induite sur   soit identique à la topologie de départ.

ExemplesModifier

  • Le compactifié d'Alexandrov de ℝn est homéomorphe à la n-sphère, à travers, en particulier, la projection stéréographique depuis un des pôles   de la n-sphère, projection complétée par  . Ainsi, le compactifié d'Alexandrov de ℝ est homéomorphe à un cercle, celui de ℝ2 (ou ℂ) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann. Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point « à l'infini » : à l'infini la droite réelle se « referme » en un cercle.
  • Tout ordinal α = [0, α[ peut être muni de la topologie de l'ordre. Si α est un ordinal limite, le compactifié d'Alexandrov de [0, α[ est α + 1 = [0, α] (si au contraire α possède un prédécesseur β, alors [0, α[ est le compact [0, β + 1[ = [0, β]).
  • Un espace de Fort (en) est le compactifié d'Alexandrov d'un espace discret infini.

RéférencesModifier

  1. (en) John L. Kelley, General Topology, Van Nostrand, (lire en ligne), p. 150.

Lien externeModifier

Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net