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Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Définition

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée anti-commutative des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire $\mathrm {d} :\Omega (M)\to \Omega (M)$, appelé dérivée extérieure, vérifiant :

• si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ;
• en notant ∧ le produit extérieur, si α est de degré k, on a : $\mathrm {d} \left(\alpha \wedge \beta \right)=\mathrm {d} \alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge \mathrm {d} \beta$ ;
• le carré de d est nul : d(dω) = 0 ;
• pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse f, la 1-forme df est la différentielle de f.

Les éléments du noyau de d sont appelés les formes fermées, et ceux de son image les formes exactes.

Expression en coordonnées locales

Pour une k-forme $\omega =f{\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}$ sur ℝⁿ, la différentielle s'écrit

${\rm {d}}{\omega }={\rm {d}}f\wedge {\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}{\rm {d}}x_{j}\wedge {\rm {d}}x_{i_{1}}\wedge ...\wedge {\rm {d}}x_{i_{k}}.$

Exemple

Pour une 1-forme sur ℝ²,

$\omega =P{\rm {d}}x+Q{\rm {d}}y,$

on a :

${\rm {d}}\omega ={\rm {d}}P\land {\rm {d}}x+{\rm {d}}Q\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial P}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right){\rm {d}}x\wedge {\rm {d}}y,$

ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Définition intrinsèque de la dérivation extérieure

La définition de la dérivation extérieure donnée auparavant utilise les coordonnées locales via une base. Dans ce paragraphe nous définirons la dérivée extérieure d'une forme différentielle dans une algèbre extérieure graduée normée, portant sur un espace vectoriel réel. Précisons le cadre. Soit E un espace vectoriel réel. On appelle forme multilinéaire de degré k une application multilinéaire qui à un k-uplet de vecteurs de k associe un réel. On note $\ E^{\otimes }$ l'ensemble des formes multilinéaires sur E.

Nous allons, pour commencer, définir le produit tensoriel de deux formes multilinéaires sur E, noté $\ \otimes$.

• soient k et k' deux entiers non nuls et f une forme k-linéaire sur E et g une forme k' linéaire sur E. On appelle

$\ f\otimes g$ la forme (k+k')-linéaire définie comme suit.

Soit $\ a_{1}...a_{k}$ k vecteurs de E et $\ b_{1}'...b_{k}'$ k' vecteurs de E.

Alors par définition, du produit tensoriel, on pose

$\ f\otimes g(a_{1}...a_{k},b_{1}'...b_{k}')=f(a_{1}...a_{k})\times g(b_{1}'...b_{k}')$

On note $\ (E^{\otimes };\otimes )$ l'ensemble des formes multilinéaires sur E muni du produit tensoriel.

On définit le produit extérieur sur $\ (E^{\otimes };\otimes )$, noté $\ \wedge$.

Soit $\ u_{1}...u_{k}$ k formes linéaires sur E. Nous allons définir la forme k-linéaire sur E $=u_{1}\wedge ...\wedge u_{k}$ dite produit extérieur des formes linéaires $\ u_{1}...u_{k}$.

On note $\ \sigma (k)$ l'ensemble des permutations sur les entiers $\ \{1,...,k\}$ et pour toute permutation $\ \sigma \in \sigma (k)$ on note $\ \epsilon _{\sigma }$ la signature de $\ \sigma$.

Pour toute famille de k formes linéaires $\ u_{1}\wedge ...\wedge u_{k}$, pour toute famille de k vecteurs de E, notée $\ a_{1}...a_{k}$, on pose

$=u_{1}(a_{1})\wedge ...\wedge u_{k}(a_{k})=\sum _{\sigma \in \sigma (k)}\epsilon _{\sigma }u_{1}(a_{\sigma (1)})...u_{k}(a_{\sigma (k)})$

Nous avons défini le produit extérieur sur $\ E^{\otimes }$ et à image dans $\ E^{\otimes }$. On démontre que ce produit est associatif et que le produit extérieur de deux applications multi-linéaires de degrés respectifs k et k' est une application multi-linéaires de degré k+k'.

Une forme [k-linéaire alternée] est une application multilinéaire d'ordre k anti-commutative de E dans le corps de réels IR

On démontre que le produit extérieur de deux applications multi-linéaires alternées de degrés respectifs k et k' est une application multi-linéaires alternée de degré k+k'.

Rappelons que :

• une forme différentielle d'ordre k (dite aussi k-différentielle) est un champ de forme k-linéaires alternées, c'est à dire une application qui à chaque vecteur (assimilé à un point) de E associe une forme k-linéaire alternée

• l'ensemble de toutes les formes différentielles d'ordre k est noté $\ \Lambda _{k}(E)$.

L'union pour k parcourant l'ensemble des entiers naturels non nul $\ \Lambda _{k}(E)$ est noté $\ \Lambda (E)$. Ainsi pour tout entier non nul k, toute forme différentielle de degré k appartient à $\ \Lambda (E)$.

Notations

Soient :

• k un entier non nul

• $\ \omega$ une forme différentielle de degré k

• x un vecteur de E

• $\ a_{1}...a_{k}$, k vecteurs de E. Le k-uplet $\ (a_{1}...a_{k})$ est dit k-vecteur.

• on note $\omega _{x}$ ou encore $\omega _{x}(e_{1}\wedge ...\wedge e_{k})$ l'application k-linéaire alternée associée au point x par $\omega$. Dans cette expression les caractères $\ e_{1}...e_{k}$ désignent des variables muettes (dites aussi variables libres). Ce ne sont pas des vecteurs de E.

• On munit la structure $\ (E^{\otimes },\otimes )$ du produit extérieur noté aussi $\ \wedge$. On restreint le produit extérieur aux seules formes différentielles qui est défini de fait comme suit : pour toutes formes différentielles $\ \omega ,\omega '$ pour tout x appartenant à E.

$\ (\omega \wedge \omega )_{x}=(\omega _{x}\wedge \omega _{x})$

On note $\ (E^{,}\wedge )$ l'ensemble des formes différentielles de tout ordre fini muni de la restriction de l'opération produit extérieur définie sur $\ E^{\otimes }$. On admet qu'il s'agit d'une opération interne à $\ (E^{,}\wedge )$ et associative.

• on note $\omega _{x}(a_{1}\wedge ...\wedge a_{k})$ l'image des k vecteurs $\ a_{1}...a_{k}$ par l'application k-linéaire alternée $\omega _{x}$. Cette image est un nombre réel.

Ainsi $\ (E^{\wedge },\wedge )$ est muni d'une application bilinéaire anticommutative et associative dite produit extérieur. Ce produit extérieur est tel que que le produit extérieur d'une forme différentielle de degré k par une forme différentielle de degré k.' est une forme différentielle de degré k+k'. On note $(\Lambda ^{k}(E),\wedge ,+)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de degré k.

L'espace vectoriel noté $(\Lambda (E),\wedge ,+)$ est par définition la somme directe des puissances extérieures successives $(\Lambda ^{k}(E),\wedge ,+)$ où k décrit N  :

$\Lambda (E)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}E$

On note $||||_{E^{*}}$ la norme classique sur les formes linéaires sur E

$||\phi ||_{E^{*}}=\sup _{|x|=1}|\phi (x)|$

On utilise le symbole $||||_{E^{\otimes }}$ pour l'extension classique de cette norme aux formes multilinéaires de $\ E^{\otimes }$ et sa restriction a Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \ (E^{^} ,\wedge) } . Pour tout entier non nul k, toute forme k-linéaire $\phi$

$||\phi ||_{E^{\otimes }}=\sup _{|a_{1}|=1,...,|a_{k}|=1}|\phi (a_{1},a_{k})|$

On munit $\ \Lambda (E)$ de la norme construite à partir de la norme $||||_{E^{\otimes }}$, comme suit. Pour toute somme directe

$u_{1}+...+u_{k}$

, on a

$||u_{1}+...+u_{k}||_{\Lambda (E)}=\sup(||u_{1}||_{E^{\otimes }},...,||u_{k}||_{E^{\otimes }})$

Une forme différentielle associe à chaque point x de E une forme k-linéaire alternée, notée $\ \phi _{x}$.

On note $\ \omega _{x}(x_{1},...,x_{k})$ cette forme k-linéaire alternée. On la note aussi pour des raisons de lisibilité $\ \Theta (u,x_{1},...,x_{k})$ qui comprend k+1 variables.

Cette forme k-linéaire alternée est aussi un élément de $(\Lambda (E),\wedge ,+)$. On dit qu'elle est différentiable s'il existe une application multilinéaire, notée $d\phi _{x}$ et une application qui tend vers 0 quand h tend vers 0, telle que

$\omega _{x+h}=\omega _{x}+<d\phi _{x}.h>+\epsilon (h)||h||(1)$

Définissons la dérivée extérieure d'une forme différentielle de degré k. Soit $\omega$ une forme différentielle de degré k. Pour tout x appartenant à E $\omega _{x}$ est une forme k-linéaire sur E. On appelle dérivée extérieure de $\omega (x_{1},...,x_{k})$ en x, si elle existe :

la fonction d'arité k+1 alternée, notée $d\omega (u,x_{1},...,x_{k})$ égale à

$\ \Theta (\lim \limits _{\lambda \to 0}{\frac {\omega (x+\lambda u)-\omega (x)}{\lambda }},x_{1},...,x_{k})$

- et si de plus la dérivée extérieure seconde (c'est-à-dire la dérivée extérieures de la dérivée extérieure) est nulle.

La première composante de l'expression ci-avant est une limite qui est une dérivée directionnelle

Si il n'existe pas une telle fonction alternée alors $\omega$ n'admet pas de dérivée extérieure en x. Cette définition n'emploie pas l'hypothèse de l'existence cartes et de de coordonnées locales et de variété différentiable. E est, plus simplement, un espace vectoriel normé.

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

$\forall T\in {\mathcal {L}}(E,F),\ \|T\|=\sup _{x\in E\setminus \{0\}}{\frac {\|T(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}}}.$

$\ {\frac {\partial Q}{\partial y}}$ 

Il est à noter que la somme de deux éléments de $\ (E^{,}\wedge )$ n'est pas nécessairement un élément de $\ (E^{,}\wedge )$ mais cette somme appartient bien à $(\Lambda ^{k}(E),\wedge ,+))$.

Cette structure est une algèbre graduée appelée algèbre extérieure de E. C'est, entre autres, un espace vectoriel réel muni du produit extérieur. Il faut se garder de confondre l'usage du symbole $\wedge$,dans l'expression d'une application multilinéaire alternée et son usage dans l'expression du produit extérieur. On retrouve le même abus en algèbre linéaire quand on utilise le symbole + pour l'addition de vecteurs et pour l'addition d'applications linéaires.

Après ce rappel conséquent, construisons maintenant la dérivée extérieure d'une forme linéaire.

Appuyons nous sur un exemple. Soit $\ \omega$ une forme différentielle de degré 2. On la note aussi $\ \omega (e^{1}\wedge e^{2})$. En un point de E noté x, l'application bilinéaire associée est notée $\ \omega _{x}(e^{1}\wedge e^{2})$ ou aussi $\ \omega _{x}$. A chaque point de E notée x, $\ \omega$ associe une forme bilinéaire alternée sur E, notée $\ \omega _{x}$.

Pour deux vecteurs de E, notés $\ a_{1},a_{2}$, $\ \omega _{x}(a_{1},a_{2})$ est le réel qui est l'image du couple $\ (a_{1},a_{2})$ par $\ \omega _{x}$.