Commutateur (opérateur)

Un commutateur est un opérateur introduit en mathématiques et étendu à la mécanique quantique.

En mathématiquesModifier

En mathématiques, le commutateur donne une idée assez imprécise de la façon dont une loi n'est pas commutative. Il existe plusieurs définitions utilisées en théorie des groupes et en théorie des anneaux.

En théorie des groupesModifier

Soit   un groupe et soient   et   deux éléments du groupe. On appelle commutateur de   et   l'élément du groupe défini par :

 .

Remarque : Un commutateur représente en fait le défaut de « permutabilité » de deux éléments du groupe :

 .

Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si   et   sont permutables (c'est-à-dire si  ).

D'autre part, le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs est appelé le groupe dérivé noté   ou le sous-groupe des commutateurs de  .

Si   est réduit à l'élément neutre alors le groupe   est un groupe abélien.

Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les groupes nilpotents.

Note : Certains auteurs préfèrent définir le commutateur de   et   par

 .

IdentitésModifier

Dans la suite, la loi   est notée multiplicativement et l'expression   désigne le conjugué (par  ) de l'élément   c'est-à-dire  .

  •  
  •  
  •  
  •  

La deuxième identité est aussi connue sous le nom d'identité de Hall-Witt. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'identité de Jacobi de la théorie des commutateurs dans les anneaux (voir la section suivante).

En théorie des anneauxModifier

Le commutateur de deux éléments   et   d'un anneau est défini par

 .

Il est nul si et seulement si   et   sont permutables.

En utilisant le commutateur comme un crochet de Lie, toute algèbre associative sur un corps peut être considérée comme une algèbre de Lie. Le commutateur de deux opérateurs sur un espace de Hilbert est un concept important en mécanique quantique puisqu'il mesure à quel point deux descriptions d'observables par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le principe d'incertitude est finalement un théorème sur les commutateurs.

De même, l'anticommutateur est défini comme  , souvent écrit noté  . Ceci ne doit pas être confondu avec le crochet de Poisson.

IdentitésModifier

Un commutateur vérifie les propriétés suivantes :

Relation d'algèbre de Lie :

  •  
  •  
  •  
  •  

Relations supplémentaires :

  •  dont on déduit   (par récurrence)
  •  
  •  

Si   est un élément donné d'un anneau  , la première des trois relations supplémentaires peut aussi être interprétée comme la règle de dérivation d'un produit d'une application  . En d'autres termes, l'application   définit une dérivation sur l'anneau  .

Si   est nilpotent, cette dérivation   l'est aussi. Plus précisément : si   alors  [1].

Algèbres graduéesModifier

Dans une algèbre graduée, on remplace le commutateur usuel par le « commutateur gradué », défini sur les composantes homogènes par 

En mécanique quantiqueModifier

En mécanique quantique, le commutateur de deux opérateurs   et   est :  . Il est donc nul lorsque les opérateurs commutent.

Appliqué à deux observables, un commutateur indique s'il est possible de mesurer les deux grandeurs simultanément.

Le commutateur intervient dans l'expression des inégalités de Heisenberg et du théorème d'Ehrenfest.

Exemple :

L'opérateur de position   (position sur l'axe  ) et l'opérateur d'impulsion   (suivant l'axe  ) ont pour commutateur :  . Ici   est la constante de Planck réduite.

Le commutateur n'est pas nul, donc les deux opérateurs ne commutent pas. Alors selon le principe d'incertitude de Heisenberg, les deux grandeurs que sont la position et la vitesse ne sont pas mesurables simultanément.

PropriétésModifier

Outre les identités valables dans tout anneau, ce commutateur vérifie[3] :

  •  
  •    désigne l'opérateur adjoint de  .

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commutator » (voir la liste des auteurs).
  1. Pierre Montagnon, 131 développements pour les oraux - Agrégation externe mathématiques/informatique, Dunod, (lire en ligne), p. 212-213, Développement 39 (Théorème d'Engel), question a) (ii).
  2. Donné sous la forme   dans (en) Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, Wiley, , 3e éd., 336 p. (ISBN 0-471-42945-7, lire en ligne), p. 51.
  3. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition], p. 167.