Puissance extérieure

La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : EpM telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur Ep à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g définie sur M à valeurs dans F telle que  ?

Construction du produit extérieurModifier

On considère le produit tensoriel :

 

On sait que toute application multilinéaire   est en correspondance avec une application linéaire   telle que :

 

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables   tels qu'il existe   deux indices différents vérifiant  . Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

 

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note  . Si  , la classe de l'élément   se note   (au lieu de   comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieurModifier

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie   et la famille suivante :

 

est une base du produit extérieur  .

En particulier, on déduit le résultat surprenant suivant : deux bases finies   et   d'un module sur un anneau commutatif ont même cardinal. En effet, soit n le cardinal de l'une, et m le cardinal de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur   est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de  , par ailleurs, la famille   qui est non vide est également une base. D'où la contradiction, donc  , par symétrie on déduit  , d'où n = m.