Utilisateur:Apitchak/Brouillon

En mathématiques, une forme indéterminée est une opération apparaissant lors d'un calcul d'une limite d'une suite ou d'une fonction sur laquelle on ne peut conclure en toute généralité et qui nécessite une étude au cas par cas.

Par exemple, on ne peut conclure de manière générale sur la limite de la somme de deux suites dont l'une tend vers et l'autre vers . Selon les cas, cette limite peut être nulle, égale à un réel non nul, être égale à ou ou bien même ne pas exister.

Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).

Présentation du problème

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En mathématiques, on est fréquemment amené à étudier la limite d'une opération (addition, multiplication, etc.) de deux fonctions ou de deux suites. Il est des situations où l'on peut déterminer cette limite uniquement en connaissant les limites respectives des fonctions ou suites concernées.

Mais, dans un certain nombre de cas, cette limite ne peut être déterminée a priori, elle dépend des fonctions ou suites en présence.
Voici un exemple d'une telle situation.

Exemple :

Considérons les deux limites suivantes :   et  .

  • Pour tout nombre réel  , on a  . Donc  
  • Pour tout nombre réel  , on a  . Donc  

Dans cet exemple, les deux limites de départ sont égales à   et on constate que la limite du quotient dépend du cas étudié. On ne peut pas établir de règle générale donnant la valeur d'une limite du type  . C'est ce que l'on appelle une forme indéterminée.

Voici un second exemple dans le cas des suites.

Exemple :

Soit   et   deux suites définies pour tout entier naturel   par   et  . On a donc   et  .

  • Pour tout entier naturel  ,  .

Or,   et  . Donc, par produit de limite  

  • Pour tout entier naturel  ,  .

Or,   et  . Donc, par produit de limite  

Ici, on a deux suites dont la limite est  . On constate que la valeur de la limite de la différence de ces deux suites dépend du cas étudié. On ne peut donc pas établir de règle générale donnant la valeur d'une limite du type  . C'est donc une forme indéterminée.

L'objectif de cet article est de présenter les différents types de formes indéterminées et d'illustrer un certain nombre de techniques permettant de les lever.

Classement des indéterminations

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On classe en général les formes indéterminées en sept catégories (ici   désigne soit un nombre réel, soit   ou  ).

Indétermination Limite recherchée Condition sur   Condition sur  
       
       
       
       
       
       
       
  • Les indéterminations de la forme   se ramènent à une indétermination de la forme   ou de la forme   en remarquant qu'une multiplication par   équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par  .
  • Les indéterminations des formes   et   se ramènent au cas précédent en utilisant que   peut s'écrire   et que la limite de   est alors de la forme  .
  • Les indéterminations de la forme   (dont le logarithme est la forme  ) : un exemple classique est   dont la limite vaut le nombre  .

Théorème des croissances comparées

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Le théorème des croissances comparées lève les indéterminations de produits et de quotients de fonctions usuelles que sont les fonctions puissances, l'exponentielle et les logarithmes.

Indétermination de la forme 0/0

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Cas des fonctions rationnelles

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Soit   une fonction rationnelle de la forme,

 

  et   sont des polynômes.

Si   est un réel tel que  , on peut être amené à chercher la limite en   de  . Si  , un calcul simple de limite conduit à une indéterminée de la forme  .

Une propriété concernant les polynômes va permettre de lever cette indétermination : pour tout polynôme   tel que  , il existe un polynôme   de degré strictement inférieur tel que  . Autrement dit, si   est racine de  ,   est factorisable par  . Cette factorisation peut s'obtenir par identification ou en utilisant la méthode de Horner.

Dans le cas de cette limite, les polynômes   et   ayant tous les deux comme racine  , on peut écrire, pour tout   de l'ensemble de définition   de  ,

 

Rechercher la limite en   de   revient à chercher la limite en   de  .

La recherche de la limite en   de   peut conclure à une absence de limite, à une limite infinie ou à une limite réelle.

Exemples
  •  

En remplaçant   par   dans le numérateur et le dénominateur, on constate qu'ils s'annulent. Une factorisation par   est donc possible.

Pour tout   de  ,

 

Donc,

 
  •  

Le numérateur et le dénominateur s'annulant en  , il est possible de fectoriser par  .

Pour tout   de  ,

 

Cette seconde fonction ne possède pas de limite en  . Elle possède cependant des limites à droite et à gauche en  . Par exemple à droite :

 
  •  

Cette fonction est bien une fonction rationnelle qui, remise sous sa forme canonique, donne, pour tout   différent de   et de  ,

 

Comme il s'annule en 2, on peut factoriser le numérateur par  :

 

On peut alors calculer sa limite en   :

 

Cas des fonctions comportant des racines carrées

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Lorsqu'il existe, dans le quotient, des racines carrées, l'idée est de transférer l'indétermination à une fonction rationnelle pour utiliser la technique précédente. Le transfert se fait, en général en multipliant numérateur et dénominateur par une quantité conjuguée.

Exemples
  •  
    On multiplie alors numérateur et dénominateur par   :  Le calcul de la limite sous la dernière forme se fait aisément : 
  •  
    On multiplie numérateur et dénominateur par   (ou bien on simplifie par  , ce qui revient au même). Cette dernière limite se calcule aisément : 

Changement de variable

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Le changement de variable permet parfois, par modification de la forme de la fonction considérée, de mettre en évidence une factorisation ou une limite de référence. Il faut cependant faire attention : un changement de variable entraîne aussi une modification de la valeur vers laquelle tend la variable. Le principe du changement de variable s'appuie sur la propriété de la limite d'une fonction composée.

Exemples
  • Soit   une fonction définie sur les intervalles réels   et   par

  En première approche, la recherche de la limite de la fonction   quand la variable   tend vers   mène vers une indétermination de la forme  . On propose alors le changement de variable suivant :  Lorsque   tend vers  ,   tend vers  . De plus,   On peut alors rechercher la limite quand   tend vers   de la fonction   définie pour tout   de   ou   par  
À ce stade, pour calculer la limite en  , on est toujours face à une forme indéterminée du type  . On peut lever cette indétermination en factorisant :   On en déduit alors la limite recherchée initialement.  

  •  
    Il s'agit encore d'une indétermination  . En posant  , on remarque alors que

  et que, lorsque   tend vers   par la gauche,   tend vers  .   (théorème des croissances comparées) donc  

Quelques procédés analytiques

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On peut également utiliser les propriétés de dérivabilité des fonctions en présence, ou bien l'existence de développements limités.

Dérivée

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Un cas d'apparition fréquent d'une indétermination du type   concerne le calcul de la dérivée en   à partir du taux d'accroissement de la fonction. Si la fonction   est dérivable en   alors  

L'utilisation d'une dérivée est donc un moyen simple de lever une indétermination de ce type. Elle donne l'occasion de présenter des indéterminations   de référence

  •  
    ici  ,  ,   et  .
  •  
    ici  ,  ,   et  
  •  
    ici  ,  ,   et  
  •  
    ici  ,  ,   et  .

Il peut donc être utile dans de nombreuses expressions de faire apparaitre des taux d'accroissement quand l'indétermination est du type  .

Cette méthode, exploitée plus à fond, conduit à la règle de L'Hôpital : si   et   ont pour limite   en   et si le quotient des dérivées   admet une limite en  , cette limite est aussi la limite en   de  .

Développements limités

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Un développement limité au voisinage de  , du numérateur et du dénominateur permet aussi souvent de résoudre simplement une indétermination de ce type.

Exemple
 
Le calcul direct des limites mène à une indétermination de la forme  . Il est alors utile de rechercher un développement limité au voisinage de   des différentes fonctions de référence en présence. Un développement limité d'ordre   ne permettra pas de conclure mais un développement limité d'ordre   permet de lever l'indétermination.   donc Le passage à la limite se fait alors aisément : 

Indétermination de la forme ∞/∞

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Par exemple (pour un entier   quelconque) :

 .

Pour lever une telle indétermination, il existe de nombreux procédés, algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivéerègle de l'Hôpital — du théorème des gendarmes ou du développement limité).

 .

Indétermination de la forme ∞ - ∞

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Par exemple :

 .

Dans cet exemple, la limite est en fait nulle. Pour le voir, on peut utiliser différentes méthodes (quantité conjuguée, développement limité, etc.)

Cas des polynômes

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Un exemple classique dans lequel on rencontre ce type de forme indéterminée est celui des fonctions polynomiales. Dans ce cas la fonction a la même limite que son terme de plus haut degré.[3]

Exemple :

Considérons la fonction polynomiale définie pour tout nombre réel   par  . Cherchons sa limite en  .

  •  
  •  

En additionnant ces deux limites, on aboutit à une forme indéterminée du type  .

Le terme de plus haut degré de   étant  , le résultat précédent permet d'affirmer que  

Voir aussi

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Notes et références

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  1. Voir le chapitre « Croissances comparées » de la leçon sur la fonction exponentielle sur Wikiversité.
  2. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 4e éd., p. 8.
  3. Lelivrescolaire fr Éditions, « 2. Opérations sur les limites | Lelivrescolaire.fr », sur www.lelivrescolaire.fr (consulté le )

{{portail|mathématiques}} [[Catégorie:Analyse réelle]]