Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article « Limite (mathématiques élémentaires) », qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites.

Opérations algébriquesModifier

On considère ici le cas où l'on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas, on peut conclure, mais parfois, une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réelModifier

On peut multiplier une suite   ou une fonction   par un réel fixé   ; on obtient alors :

  • la suite   définie par :   ;
  • la fonction   définie par :  .

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie   ou diverge vers   :

       
         
       

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction  . Nous ne mentionnerons pas le point  , réel ou  , en lequel on considère la limite de  , que nous noterons donc simplement  . La limite de   est :

       
         
       

SommeModifier

On peut additionner deux suites   et   ou deux fonctions   et   :

  • la suite   est définie par :   ;
  • la fonction   est définie par :  .

On peut donner la limite de la suite   en fonction des limites respectives des suites   et   (resp. la limite de la fonction   en un point  , en fonction des limites en   de   et  ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

    (resp.  )
     
  (resp.  )        
      FI
    FI  

ProduitModifier

On peut multiplier deux suites   et   ou deux fonctions   et   :

  • la suite   est définie par :   ;
  • la fonction   est définie par :  .

On peut donner la limite de la suite   en fonction des limites respectives des suites   et   (resp. la limite de la fonction   en un point   en fonction des limites en   de   et  ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

    (resp.  )
         
  (resp.  )            
           
        FI FI
      FI    
      FI    

QuotientModifier

On peut diviser une suite   par une suite   vérifiant   ou une fonction   par une fonction   vérifiant   pour tout   au voisinage du point considéré :

  • la suite   est définie par :   ;
  • la fonction   est définie par :   pour tous les   tels que  .

On peut donner la limite de la suite   en fonction des limites respectives des suites   et   (resp. la limite de la fonction   en un point   en fonction des limites en   de   et  ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

    (resp.  )
           
  (resp.  )              
             
      FI FI    
      FI FI    
          FI FI
          FI FI

Formes indéterminéesModifier

Les formes indéterminées sont soit de type additif :  , soit de type multiplicatif :  ,   ou  . Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

L'article suivant traite plus en détail ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

 

Or,

 

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

 
  et  

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

 

CompositionModifier

PropriétéModifier

Soient   et   deux intervalles non triviaux,   et   deux applications telles que  , et   un point de   ou une borne de  .

 

Composition d'une fonction et d'une suiteModifier

Soient   comme précédemment, et   une suite à valeurs dans  .

 

Voir aussiModifier

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