Théorème de composition des limites

En mathématiques, le théorème de composition des limites est un théorème de base de l'analyse réelle. Il permet d'exprimer une limite d'une fonction composée, connaissant les limites des fonctions la composant.

ÉnoncéModifier

Le théorème ci-dessous est souvent énoncé en se restreignant au cas où les ensembles   et   sont des intervalles. Dans ce cas, dire que   est adhérent à   signifie simplement que   est non vide et que   est l'une de ses deux extrémités ou l'un de ses éléments.

Soient   et   deux parties de  ,   et   deux applications, et   trois points de la droite réelle achevée  , avec   adhérent à  .

 

En particulier : si   est une suite à valeurs dans   et de limite   et si  , alors la suite   admet   pour limite.

Plus généralement, on a les mêmes implications lorsque   appartiennent respectivement à trois espaces topologiques   avec  ,  ,  ,   et  .

ApplicationModifier

Ce théorème est notamment utilisé pour lever les formes indéterminées de certaines fonctions par changement de variable.

Voir aussiModifier

  : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », (lire en ligne), p. 203