Théorème des croissances comparées

résultats sur certaines limites de fonctions

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient.

ÉnoncéModifier

 


 

Plus généralement, pour tous réels strictement positifs a et b[1],

 
 

L'hypothèse a > 0 est indispensable. Supposer de plus b > 0 est en fait inutile (pour b ≤ 0, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).

DémonstrationsModifier

On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé :   En choisissant nb, on obtient en effet :

  1. en posant y = ax : 
  2. en posant y = –ax : 
  3. en posant y = a lnx : 
  4. en posant y = –a lnx : 

Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.

Note et référenceModifier

  1. Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfel et al., Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI : nouveau programme 2013, Dunod, (lire en ligne), p. 199.

Voir aussiModifier

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