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Topologie

Branche des mathématiques concernant les déformations spatiales par des transformations continues
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Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie.

La topologie est une branche des mathématiques concernant l’étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites « continues ». Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.

Sommaire

ÉtymologieModifier

Le mot « topologie » (en grec η τοπολογία) procède de l'association de deux noms grecs ο τοπος (o topos, masculin) et η λογία (i logia, féminin) qui signifient respectivement « le lieu » et « l'étude ». Littéralement, topologie signifie l'« étude d'un lieu » ou « étude topique ». Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi « espace ») et quelles peuvent en être les propriétés. Une ancienne dénomination fut analysis situs, c'est-à-dire « l'étude du lieu ».

HistoireModifier

 
Leonhard Euler, en 1736, étudia le problème des sept ponts de Königsberg. Ce fut le point de départ de la topologie moderne.

L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques.

La naissance de la topologie est directement liée à l'étude de nombres réels. Un premier signe fut certainement la définition de la notion de point d'accumulation vers 1860 par Weierstrass (qui démontra que tout ensemble de nombres réels infini borné admet au moins un point d'accumulation, résultat admis auparavant). Ce point de vue un peu étroit tomba ensuite en désuétude.

Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie.

Ce n'est qu'en 1906, à force d'étudier des ensembles de plus en plus abstraits, qu'apparut le concept d'espace métrique, introduit par Fréchet, qui unifia les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autres.

En 1914, Felix Hausdorff généralisa la notion d’espace métrique en introduisant la notion de voisinage ; il inventa le terme d'« espace topologique » et définit ce qui s'appelle aujourd'hui un espace séparé ou espace de Hausdorff.

Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique.

Le développement des espaces vectoriels normés (en particulier de dimensions infinies) est d'abord dû à Hilbert ; Banach compléta largement cette théorie dans les années 1930.

La notion d'ensemble compact, en germe dès 1900, se développa avec Borel et Lebesgue grâce aux considérations liées à la théorie de la mesure[1].

Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie.

Principes fondateursModifier

Le concept central en topologie est la notion de limite. Prenons l'exemple d'une surface fermée, un disque par exemple. D'un strict point de vue ensembliste, il y a les points qui sont dans le disque et ceux qui ne sont pas dedans. Pourtant, ce point de vue n'est pas satisfaisant géométriquement. Les points qui sont sur le cercle délimitant le disque ont un statut particulier, ils sont à la limite. D'ailleurs, dans la définition d'un disque, on a un choix à faire : considère-t-on l'ensemble des points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon ou considère-t-on l'ensemble des points dont la distance au centre est strictement inférieure au rayon ? Dans le premier cas, on dit que le disque est fermé, dans le second cas, on dira que le disque est ouvert. Plus généralement, on dira qu'une surface est fermée lorsqu'elle contient tous ses points limites. On dira qu'une surface est ouverte si pour chacun de ses points il existe un disque centré en ce point qui est inclus dans cette surface.

Cette idée de limite est très visuelle. La topologie cherche à formaliser cette notion. Il y a plusieurs moyens d'y parvenir. La façon la plus simple est de définir une distance. Dans notre exemple, on utilise simplement la distance euclidienne. Les points limites sont ceux qui sont proches (c'est-à-dire à une distance aussi faible que désirée) à la fois de points dans notre surface et de points qui ne sont pas dedans. Définir une distance sur un ensemble lui confère une structure d'espace métrique. Cette façon de voir est suffisante pour résoudre de nombreux problèmes. Cependant, utiliser une distance passe par l'intermédiaire des nombres réels et introduit donc une contrainte qu'il a fallu dépasser. Pour cela, on a été amené à définir le concept de proximité de façon plus abstraite, sans faire appel à un argument numérique, c'est le concept de voisinage. Pour des raisons techniques, il est équivalent et plus simple de définir directement les ouverts avant les voisinages, c'est donc ainsi que l'on définit usuellement une topologie : en décidant quelles sont les parties ouvertes.

La notion de limite n'est pas seulement statique mais aussi dynamique. La topologie permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites. Regardons la suite des inverses des nombres entiers à partir de 1 : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … , 1/n, … À la limite, cette suite va tendre vers 0. Cela rejoint plus ou moins le fait que 0 est un point limite de l'ensemble des 1/n.

Il est important de noter que la plupart des notions de topologie, notamment la continuité sont des conséquences de la notion de limite. C'est le cas notamment de la notion de dérivée qui se conçoit comme limite du taux d’accroissement, de la tangente qui est la limite des cordes.

La topologie est donc une théorie unificatrice : elle explique avec peu d'axiomes initiaux un grand nombre de phénomènes.

Branches de la topologieModifier

Notes et référencesModifier

  1. Xavier Gourdon, Les maths en tête : Analyse, Ellipses, , 432 p., p. 7. Pour un historique beaucoup plus détaillé, voir (en) Gregory H. Moore, « The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology », Historia Mathematica, vol. 35, no 3,‎ , p. 220-241 (DOI 10.1016/j.hm.2008.01.001).

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Voir l’article annexe : Glossaire de topologie.

BibliographieModifier