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Fermé (topologie)

ensemble dont le complémentaire est un ouvert
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Fermé.

En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.

Sommaire

PropriétésModifier

  • Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide).
  • Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte[1] — l'intersection de la famille vide).
  • Pour toute partie A de E, l'intersection de tous les fermés contenant A est donc un fermé, appelé l'adhérence de A. C'est le plus petit fermé contenant A. Il est donc réduit à A si et seulement si A est fermé.
  • Un espace T1 est un espace dont tous les singletons sont fermés. Tout espace séparé est T1.
  • L'espace E est dit connexe si E et ∅ sont ses seules parties à la fois ouvertes et fermées.
  • Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle [0, 1[ dans .
  • La propriété d'être fermé dépend en général de l'espace ambiant considéré : dans ]–1, 1[ muni de la topologie induite par celle de ℝ, ce même intervalle [0, 1[ est fermé, c'est-à-dire qu'il est la trace sur ]–1, 1[ d'un fermé de ℝ (par exemple [0, 1[ = ]–1, 1[ ∩ [0, + ∞[).
  • Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
  • F est un fermé si et seulement s'il contient son ensemble dérivé, c'est-à-dire si tout « point limite » (ou « point d'accumulation ») de F est un élément de F.
  • La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.
  • Une application f : E → F entre deux espaces topologiques est continue si et seulement si l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Partie localement ferméeModifier

Une partie A de E est dite localement fermée (dans E) si elle possède l'une des propriétés équivalentes suivantes[2] :

  1. tout point de   possède dans   un voisinage   tel que   soit un fermé de   (c'est-à-dire tel que   pour au moins un fermé   de  ) ;
  2.   est ouvert dans son adhérence   (c'est-à-dire :   pour au moins un ouvert   de  ) ;
  3.   est l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de  

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier