En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

PropriétésModifier

  • Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
  • Réciproquement, si H est un p-sous-groupe distingué d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
  • On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
  • La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
  • Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
  • Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
  • Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre).
  • Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
  • Soit G un p-groupe fini d'ordre pn. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre pr.

Remarque[5] : tout groupe d'ordre p2 est abélien. En effet, si Z est le centre (non trivial) d'un tel groupe G alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p) donc G est engendré par la réunion de Z et d'un singleton, si bien que G est abélien. (Il est donc soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.)

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Cette définition est conforme à Scott 1987, p. 91 ; Calais 1984, p. 295 ; Rotman 1999, p. 73 ; Hall 1976, p. 45 ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans (en) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et Perrin 1996, p. 9.
  2. Rotman 1999, p. 76.
  3. (de) Wolfgang Gaschütz (de), « Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen », J. Algebra, vol. 4,‎ , p. 1-2 (lire en ligne).
  4. (en) Philip Hall, « A contribution to the theory of groups of prime-power order », Proc. Lond. Math. Soc., série II, vol. 36,‎ , p. 29-95 (zbMATH 59.0147.02).
  5. Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple Perrin 1996, p. 34.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

(en) Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order, vol. 1 (ISBN 978-3110204186) et 2 (ISBN 978-3110204193), De Gruyter, 2008

Lien externeModifier

Cours de théorie des groupes par N. Jacon de l'université de Franche-Comté