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Produit direct de deux groupesModifier

Soient   et   deux groupes. Désignons par   leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur   une loi de composition   composante par composante :

 ,

le produit   apparaissant dans le second membre étant calculé dans   et le produit   dans  . On vérifie facilement que cette loi de composition munit   d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes   et   et noté  . Si   et   désignent respectivement les neutres de   et de  , le neutre de   est  . Le symétrique d'un élément   de   est l'élément  .

L'application   définit un isomorphisme de   sur   (« commutativité » du produit direct) et l'application   définit un isomorphisme de   sur   (« associativité » du produit direct).

Produit direct d'une famille de groupesModifier

DéfinitionModifier

La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.

Soit   une famille (finie ou infinie) de groupes. On appelle groupe produit de cette famille, ou produit de cette famille, ou produit direct de cette famille, et on note   le produit cartésien de la famille des (ensembles sous-jacents des)  , muni de la loi de composition composante par composante :

 ,

où, pour chaque i, le produit   est calculé dans  .

Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. Puisqu'en théorie des ensembles, le produit cartésien d'une famille d'ensembles a pour cardinal le produit des cardinaux de ces ensembles, l'ordre du produit direct d'une famille de groupes est le produit des ordres de ces groupes.

Remarques.

  1. Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole   est conforme à Bourbaki[1], à J.J. Rotman[2], à D.S. Dummit et R.M. Foote[3]etc. Kurzweil (de) et Stellmacher[4] notent   ou encore   ou encore   le produit direct d'une famille finie   de groupes. Ils n'emploient le symbole   que pour désigner des opérations internes à un groupe[5]. W. R. Scott[6], désigne par   le produit direct d'une famille   de groupes.
  2. Les groupes   ne sont pas forcément deux à deux distincts. Si, par exemple, ils sont tous égaux à un même groupe G, le produit   est égal à l'ensemble   des applications de I dans G, muni de la loi de groupe définie par  .
  3. Il nous arrivera de désigner par le même symbole 1 (en contexte multiplicatif) ou 0 (en contexte additif) les neutres de tous les  . En pratique, cela ne prête pas à confusion.

Pour tout élément j de I, désignons par   l'application j-ième projection

 

du produit cartésien des (ensembles sous-jacents aux)   dans  . On vérifie facilement que   est un homomorphisme surjectif de groupes, qu'on appelle j-ième homomorphisme de projection de   sur  .

Propriété universelle du produit d'une famille de groupesModifier

Soit   une famille (finie ou infinie) de groupes. Désignons par P le produit de cette famille et, pour chaque  , par   l'homomorphisme i-ème projection de P sur  . Si H est un groupe et   une famille d'homomorphismes  , il existe un et un seul homomorphisme f de H dans P tel que, pour tout élément i de I,
 .

En effet, l'application   est clairement un morphisme de groupes et satisfait évidemment à la propriété ci-dessus (ce qui est d'ailleurs un cas particulier de la propriété universelle du produit cartésien d'une famille d'ensembles).

Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle du produit d'une famille de groupes revient à dire que, dans les notations ci-dessus, P et la famille d'homomorphismes   constituent un produit de la famille   dans la catégorie des groupes.

Somme restreinte d'une famille de groupesModifier

Pour tout élément j de I, désignons par   l'application de   dans   qui envoie x sur la famille   définie par   si   et   si  . On vérifie facilement que   est un homomorphisme injectif de groupes, qu'on appelle j-ième injection canonique de   dans  .

(Si   désigne le j-ème -homomorphisme projection de   sur  , on a évidemment, pour tout élément j de I,

 )

L'image   de l'homomorphisme injectif   est un sous-groupe de   isomorphe à  . C'est l'ensemble des éléments   de   tels que   pour tout i distinct de j. On identifie souvent   et   ; par exemple, on dit que   est un sous-groupe de  .

On vérifie facilement que   est un sous-groupe distingué de   et que si i et j sont des éléments distincts de I, tout élément de   commute avec tout élément de  . (On ne peut pas en dire autant si i et j ne sont pas distincts, car   n'est pas forcément commutatif.)

DéfinitionModifier

Le sous-groupe de   engendré par les   est l'ensemble des éléments   de   pour lesquels il n'y a qu'un nombre fini (éventuellement nul) d'indices i tels que  . Cela nous amène à cette définition :

Définition. Soit   une famille de groupes. L'ensemble des éléments   de   pour lesquels il n'y a qu'un nombre fini (éventuellement nul) d'indices i tels que   se munit d'une loi de groupe par  . Ce sous-groupe de   est appelé la somme restreinte ou la somme directe[7] de la famille de groupes  . Quand les groupes   sont abéliens, on dit somme directe plutôt que somme restreinte.

Nous noterons   la somme restreinte de la famille de groupes  . Il faut cependant noter que les notations ne sont pas fixées[8]. Quand les groupes   sont commutatifs, la somme directe est également notée  .

D'après ce qui précède, la somme restreinte est un sous-groupe du produit direct et il est clair que ce sous-groupe est distingué. On a noté que les   sont distingués dans  , donc ils sont distingués dans  .

Si l'ensemble I est fini, ou, plus généralement, s'il n'y a qu'un nombre fini d'éléments i de I tels que   soit non trivial (par trivial, on entend ici réduit au neutre), le produit direct et la somme restreinte de la famille   se confondent.

D'après ce qui précède, la j-ième injection canonique de   dans   prend ses valeurs dans la somme restreinte. Nous parlerons donc aussi de la j-ième injection canonique comme d'un homomorphisme de   dans la somme restreinte.

Propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliensModifier

La somme restreinte d'une famille de groupes possède la propriété suivante[9] :

Soient   une famille de groupes, K un groupe et   une famille d'homomorphismes telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, chaque élément de   commute avec chaque élément de  . Il existe un et un seul homomorphisme f de   dans K tel que, pour tout élément j de I,  .

En effet, considérons l'application

  ;

cette application est correctement définie parce que, d'une part, il y a au plus un nombre fini de i tels que   et, d'autre part, parce que, pour i distinct de j,   commute avec  , ce qui permet de définir   indépendamment de tout ordre sur I. On vérifie facilement que f est un homomorphisme et qu'il est bien le seul homomorphisme de   dans K tel qu'annoncé.

Si le groupe K est abélien, l'hypothèse de commutation est automatiquement vérifiée et l'on obtient :

Soient   une famille de groupes, et K un groupe abélien. Le morphisme
 
est un isomorphisme.

Si tous les groupes   sont abéliens alors leur somme directe l'est aussi, et le théorème ci-dessus fournit la propriété universelle de la somme directe :

Propriété universelle de la somme directe. Soient   une famille de groupes abéliens, K un groupe abélien et   une famille d'homomorphismes. Il existe un et un seul homomorphisme f de   dans K tel que, pour tout élément j de I,  .

Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens revient à dire que si   est une famille de groupes abéliens, le groupe   et, dans les notations ci-dessus, la famille d'homomorphismes   constituent une somme (aussi appelé « coproduit » ) de la famille   dans la catégorie des groupes abéliens[10]. Nous avons ainsi prouvé que les sommes existent dans la catégorie des groupes abéliens. Les sommes existent aussi dans la catégorie des groupes[11] sous le nom de produits libres, et la somme restreinte   d'une famille   de groupes commutatifs est l'abélianisé de son produit libre.

Somme restreinte interne d'une famille de sous-groupesModifier

Soient G un groupe et   une famille de sous-groupes de G telle que, pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de   commute avec tout élément de  . Pour tout élément j de I, désignons par   la j-ième injection canonique de   dans la somme restreinte des  et par   l'homomorphisme inclusion   de   dans  . D'après la propriété de la somme restreinte énoncée plus haut, il existe un et un seul homomorphisme f de la somme restreinte des   dans G tel que, pour tout élément j de I,

 

et cet homomorphisme peut se définir par

 

Définition. Soient G un groupe et   une famille de sous-groupes de G. On dit que G est somme restreinte interne de la famille   si pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de   commute avec tout élément de   et que l'homomorphisme   de la somme restreinte des   dans G est un isomorphisme.

On vérifie facilement que si G est un groupe et   une famille de sous-groupes de G, G est somme restreinte interne de cette famille si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

  1. pour tous éléments distincts i et j de I, tout élément de   commute avec tout élément de   ;
  2. pour tout élément x de G, il existe une et une seule famille   telle que   pour tout i,   sauf peut-être pour un nombre fini de i et  .

Les   sont alors des sous-groupes distingués de G et engendrent G.

Quand on veut distinguer entre la somme retreinte et la somme restreinte interne, on dit « somme restreinte externe » pour « somme restreinte ». Toutefois, on néglige souvent de faire la distinction et on dit volontiers « somme restreinte » pour « somme restreinte interne ».

Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensModifier

Dans le cas où G est abélien, on parle de somme directe interne (ou simplement somme directe) plutôt que de somme restreinte interne. Dans ce cas, la caractérisation d'une somme directe interne se simplifie :

Soient G un groupe abélien et   une famille de sous-groupes de G. G est somme directe (interne) de cette famille si et seulement si la condition suivante est satisfaite (en notations additives) :

pour tout élément x de G, il existe une et une seule famille   telle que   pour tout i,   sauf peut-être pour un nombre fini de i et  .

Produit direct interne d'une famille finie de sous-groupesModifier

Dans le cas où I est fini, on dit souvent « produit direct interne » ou simplement « produit direct » au lieu de « somme restreinte interne»[12].

Dans ce cas, on peut caractériser comme suit la somme restreinte interne[13] :

Soient G un groupe et   une famille finie de sous-groupes de G. G est somme restreinte interne (produit direct interne dans une autre terminologie) de cette famille si et seulement les conditions suivantes sont satisfaites :

a) chaque   est sous-groupe distingué de G,
b) les   engendrent G,
c)   pour tout i < n.

Dans le cas particulier où n = 2, ceci montre qu'un groupe G est somme restreinte interne de deux sous-groupes H et K si et seulement si ces sous-groupes sont distingués, engendrent G et ont une intersection réduite au neutre. On peut même simplifier ces conditions en :

c) H ∩ K est trivial,
b') G = HK,
a') H et K se normalisent mutuellement (d'après un fait sur les commutateurs, cela suffit, compte tenu de c, pour que tout élément de H commute avec tout élément de K).

Lorsque G est fini, on peut en outre remplacer la condition b') par |G| = |H| |K| (d'après la formule du produit), et remarquer que la condition c) est automatiquement remplie si |H| et |K| sont premiers entre eux (d'après un théorème de Lagrange).

Quand on veut distinguer entre le produit direct interne et le produit direct défini antérieurement, on appelle celui-ci « produit direct externe ».

Si G est produit direct interne de la famille finie   de sous-groupes de G, certains auteurs écrivent[12] :

  ou encore   ou encore  .

La notation   ne prête pas à confusion car, par exemple, si une des trois relations suivantes est vraie (dans un sens évident) :

  1.  
  2.  
  3.  

les deux autres le sont aussi.

Outre ces relations d'« associativité », on a une relation de « commutativité » :

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes de G ; si G = H × K, alors G = K × H.

Ces relations d'« associativité » et de « commutativité » peuvent être obtenues comme cas particuliers d'une propriété générale d'« associativité » de la somme restreinte interne d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes[14].

Puisque le produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes est la somme restreinte interne de cette famille, que la somme restreinte interne est isomorphe à la somme restreinte externe et que, dans le cas d'une famille finie de groupes, la somme restreinte externe est identique au produit direct, le produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes est isomorphe au produit direct externe de cette famille. En particulier, le produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes a pour ordre le produit des ordres de ces sous-groupes.

Un sous-groupe H d'un groupe G est dit facteur direct de G s'il existe (au moins) un sous-groupe K de G tel que G soit produit direct interne G = H × K.

ExemplesModifier

Décomposition triviale en produit direct interneModifier

Tout groupe G admet la décomposition en produit direct interne G = G × 1. Cette décomposition est dite triviale.

Groupe de KleinModifier

Article détaillé : Groupe de Klein.

Soit G l'unique groupe d'ordre 2, isomorphe au groupe cyclique Z/2Z. Sa table est la suivante :

 +   0   1 
 0   0  1
 1   1  0

Le groupe produit G×G est un groupe abélien de quatre éléments dont la table est la suivante :

 +   (0,0)   (0,1)   (1,0)   (1,1) 
 (0,0)   (0,0)  (0,1)  (1,0)  (1,1)
 (0,1)   (0,1)  (0,0)  (1,1)  (1,0)
 (1,0)   (1,0)  (1,1)  (0,0)  (0,1)
 (1,1)   (1,1)  (1,0)  (0,1)  (0,0)

Le groupe obtenu est isomorphe au groupe de Klein, le seul groupe non cyclique d'ordre 4, dont chaque élément est son propre inverse.

Groupe additif d'un espace vectorielModifier

Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite) sur un corps K. Il résulte de l'existence des bases dans les espaces vectoriels que le groupe additif de V est somme directe interne d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif de K. (En fait, la notion de Somme directe de sous-espaces vectoriels est mieux adaptée à cette situation, mais elle n'est pas nécessaire à la présente discussion.)

Soit p un nombre premier et G un groupe abélien dans lequel px = 0 pour tout élément x de G. Le groupe G est d'une et une seule façon le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps à p éléments Z/pZ. Donc, d'après l'alinéa précédent, G est somme directe interne d'une famille (finie ou infinie) de groupes (cycliques) d'ordre p.

Groupe cycliqueModifier

Article détaillé : Groupe cyclique.

On démontre que si a et b sont deux nombres naturels premiers entre eux et G un groupe cyclique d'ordre ab, alors G est produit direct interne de son unique sous-groupe (cyclique) d'ordre a et de son unique sous-groupe (cyclique) d'ordre b. En revanche, si G est un groupe cyclique et a, b deux diviseurs non premiers entre eux de l'ordre de G, G n'est pas produit direct interne d'un groupe d'ordre a et d'un groupe d'ordre b.

Somme restreinte externe comme somme restreinte interneModifier

Soit   une famille de groupes. Désignons par S sa somme restreinte externe et, pour tout élément j de I, par   la j-ième injection canonique de   dans S. On vérifie facilement que S est somme restreinte interne de la famille  .

PropriétésModifier

  • Comme déjà noté, l'ordre du produit direct externe d'une famille (finie ou infinie) de groupes est égal au produit des ordres de ces groupes. L'ordre du produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes est égal au produit des ordres de ces groupes.
  • Le produit direct externe et la somme restreinte externe d'une famille de groupes abéliens sont des groupes abéliens. Si un groupe G est somme restreinte interne d'une famille de sous-groupes abéliens, G est abélien.
  • Si G est le produit direct externe de deux groupes G1 et G2, notons i1 (resp. i2) l'application de G1 (resp. G2) dans G qui à x associe (x, e2) (resp. (e1, x). Le sous-groupe image de i1 (resp. i2) est noté H1 (resp. H2). Enfin l'application s1 (resp. s2) de G dans G1 (resp. G2) est définie par s1(x1, x2) = x1 (resp. s2(x1, x2) = x2).
  • Les applications i1 et i2 sont des morphismes injectifs.
  • Les applications s1 et s2 sont des morphismes surjectifs.
  • Les deux suites suivantes sont exactes.
 

ProjecteurModifier

Une approche, un peu analogue à celle des espaces vectoriel, donne une équivalence entre un produit direct et un morphisme particulier appelé projecteur. Soit G un groupe, H1 et H2 deux sous-groupes de G tel que l'application φ du paragraphe précédent soit un isomorphisme. Alors tout élément g de G s'écrit de manière unique h1*h2hi est élément de Hi. Soit p l'application de G dans G qui à g associe h1. Elle bénéficie des propriétés suivantes :

  • La fonction p est un morphisme de groupes, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

Ici o désigne la composition des fonctions.

L'analogie avec les espaces vectoriels donne lieu à la définition suivante :

  • Un projecteur p de G est un morphisme de G dans G tel que tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

La donnée d'un projecteur permet une décomposition de G en produit direct :

  • Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Dans le cas où G est abélien, tout morphisme dont le carré est égal à lui-même est un projecteur, en effet tout élément du groupe commute avec tout élément du groupe.

Cette propriété peut se reformuler de la manière suivante. Toute suite exacte :

 

telle que G est abélien, et qu'il existe une section G/H dans G qui se factorise en un produit direct  .

Groupe abélienModifier

Article détaillé : Groupe abélien.

Le cas général ne peut être traité, il est trop vaste, il est donc nécessaire d'apporter des hypothèses supplémentaires. Ces hypothèses correspondent essentiellement à trois cas, traités ici.

Groupe abélien finiModifier

Article détaillé : Théorème de Kronecker.

Le cas le plus simple est celui ou le groupe G est fini. Un premier exemple est donné par les groupes cycliques, ils suffisent pour générer, à l'aide du produit direct tous les groupes abéliens finis.

  • Il existe une suite d'entiers strictement positifs (a1,a2,...,ak) tel que G est isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite.

Ce qui s'écrit de la manière suivante :

 

Groupe abélien de type finiModifier

Article détaillé : Groupe abélien de type fini.

Le deuxième cas est d'une nature proche du cas précédent. Il correspond aux groupes contenant une partie génératrice finie. Il existe ainsi au moins un groupe qui n'est pas élément de l'ensemble précédent, celui des entiers Z. On démontre (dans l'article associé) qu'il est l'unique générateur à ajouter pour obtenir tous les groupes abéliens de type fini.

  • Pour tout groupe abélien G de type fini, il existe un entier n et un groupe fini F tel que G est isomorphe au produit direct de F et de Zn.

Groupe de Lie commutatifModifier

Article détaillé : Groupe de Lie commutatif.

Les deux catégories précédentes sont dénombrables. Il existe pourtant des groupes importants qui ne le sont pas, on peut citer par exemple le cas des isométries linéaires du plan utilisé précédemment. Il est alors nécessaire d'adjoindre trois hypothèses : le groupe dispose d'une structure de variété différentielle compatible avec le groupe (on parle de groupe de Lie), l'espace tangent est de dimension finie et le nombre de composantes connexes du groupe est fini. La propriété suivante est alors vérifiée :

  • Tout groupe de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes est isomorphe à un produit direct d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension finie et d'un tore maximal.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

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RéférencesModifier

  • Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
  • J. F. Labarre, La Théorie des groupes, Presses Universitaires de France, 1978
  • G. Pichon, Groupes de Lie, représentations linéaires et applications, Hermann , 1973

Notes et référencesModifier

  1. Algèbre, ch. 1, § 4, déf. 12, p. 43.
  2. (en) An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., p. 308.
  3. (en) Abstract Algebra, Wiley, 2004, p. 157.
  4. (en) The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 27.
  5. Ouvr. cité, p. 28.
  6. (en) Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 14-15 (exemples 11 et 12).
  7. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, Paris, 1970, p. I.45-46, dit « somme restreinte » dans le cas général et ne dit « somme directe » que si les groupes sont commutatifs. Jean Delcourt, Théorie des groupes, 2e édition, Paris, 2012, p. 28, n'emploie que « somme directe », même si les groupes ne sont pas abéliens.
  8. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, vol. 1, Paris, , p. I.45, emploie une autre notation. La notation utilisée dans le présent article est proche de celle de W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 15.
  9. Voir N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I.45, prop. 12.
  10. Voir S. Lang, Algèbre, Paris, Dunod, 2004, pp. 39 et 137.
  11. S. Lang, Algèbre, 3e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 74.
  12. a et b Voir par exemple (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, (lire en ligne), p. 28.
  13. Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I, 46.
  14. Voir une forme de cette relation générale dans W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, exerc. 4.2.8, p. 71.