Action par conjugaison

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe. L'ensemble sur lequel agit le groupe G est ici G lui-même.

DéfinitionsModifier

Notons ici, pour tout élément g de G,  

l'automorphisme intérieur de G associé à g (c'est un automorphisme de G). Alors, l'application gautg, de G dans SG, est un morphisme de groupes.

En effet, autgauth = autgh.

L'action de groupe associée, définie par

 

est appelée l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Pour tout x appartenant à G, l'orbite de x sous cette action est appelée la classe de conjugaison de x et est notée Cx :

 

Ses éléments sont appelés les conjugués de x.

ApplicationsModifier

ExemplesModifier

  • Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
  • Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

PropriétésModifier

  • Quand G est commutatif, l'action par conjugaison est l'identité.
  • Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence : 
  • Un élément g de G fixe un élément particulier x si et seulement si g est élément du centralisateur Zx de x : .La formule des classes montre alors que, si Cx désigne la classe de conjugaison de x : en particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.
  • Un élément g de G fixe donc tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G. Plus généralement,   ssi g = g' mod Z(G). Par conséquent, l'action de G (sur G) induit une action (sur G) du groupe quotient G/Z(G).
  • L'orbite Cx est réduite à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant xi par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes : 

Voir aussiModifier

Sous-groupe normal