Produit semi-direct

En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interneModifier

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K[1] si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

  •   (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
  •   (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
  • la restriction à K de la surjection canonique   est un isomorphisme entre   et   ;
  • la surjection canonique   se scinde par un morphisme   tel que  .

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

 

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

 

décomposé en un élément   de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément   de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

 

Pour tout  , l'application

 

est un automorphisme de H. En outre, l'application

 

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externeModifier

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes,   et  , et un morphisme   de   dans le groupe   des automorphismes de  , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe   de   et   suivant   comme le produit cartésien de   et   muni de la loi de groupe :

 

où l'inverse d'un élément   est  .

On peut injecter   dans   par l'injection canonique  , et injecter   dans   par l'injection canonique  . On vérifie alors que   est le produit semi-direct interne de   par   au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme   est l'automorphisme de conjugaison par  . On note

  ou tout simplement  .

Le cas où   est le morphisme trivial de groupe (i.e.  ) correspond au produit direct.

Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

  et  

sont des groupes isomorphes[2].

ExemplesModifier

  • Le groupe diédral D2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2 agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion[3]. Explicitement, le morphisme   de C2 dans Aut(Cn) est défini par :si   et  , alors  Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.
  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme    est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple  . La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :
 .

Groupe dérivéModifier

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = HK est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K)[5].

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Notes et référencesModifier

  1. C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans : Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est produit semi-direct du sous-groupe K par le sous-groupe normal H :
  2. Voir Aschbacher 2000, p. 30, énoncé 10.3.
  3. Voir Aschbacher 2000, p. 141.
  4. Voir par exemple cet exercice corrigé du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
  5. (en) Daciberg Lima Gonçalves et John Guaschi, « The lower central and derived series of the braid groups of the sphere », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 361,‎ , p. 3375-3399 (lire en ligne) (Proposition 3.3), arXiv:math/0603701 (Proposition 29).

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

BibliographieModifier