Produit semi-direct

En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interneModifier

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

  •   (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
  •   (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
  • la restriction à K de la surjection canonique   est un isomorphisme entre   et   ;
  • la surjection canonique   se scinde par un morphisme   tel que  .

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

 

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

 

décomposé en un élément   de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément   de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

 

Pour tout  , l'application

 

est un automorphisme de H. En outre l'application

 

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externeModifier

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes,   et  , et un morphisme   de   dans le groupe   des automorphismes de  , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe   de   et   suivant   comme le produit cartésien de   et   muni de la loi de groupe :

 

où l'inverse d'un élément   est  .

On peut injecter   dans   par l'injection canonique  , et injecter   dans   par l'injection canonique  . On vérifie alors que   est le produit semi-direct interne de   par   au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme   est l'automorphisme de conjugaison par  . On note :

  ou tout simplement  

Le cas où   est le morphisme trivial de groupe (ie   ) correspond au produit direct.

Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

  et  

sont des groupes isomorphes[1].

ExemplesModifier

  • Le groupe diédral D2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2 agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion[2]. Explicitement, le morphisme   de C2 dans Aut(Cn) est défini par :si   et  , alors  Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.
  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme    est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple  . La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :
 

Groupe dérivéModifier

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = HK est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K)[3].

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Articles connexesModifier

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Voir (en) Michael Aschbacher, Finite Group Theory, CUP, , 2e éd. (1re éd. 1993) (ISBN 978-0-521-78675-1, lire en ligne), p. 30, énoncé 10.3.
  2. Voir Aschbacher 2000, p. 141.
  3. (en) Daciberg Lima Gonçalves et John Guaschi, « The lower central and derived series of the braid groups of the sphere », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 361,‎ , p. 3375-3399 (lire en ligne) (Proposition 3.3), arXiv:math/0603701 (Proposition 29).

RéférencesModifier