Magma (algèbre)

structure algébrique élémentaire : ensemble muni d'une loi de composition interne
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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

DéfinitionsModifier

Si l'on note   un ensemble et   une loi de composition interne dans  , le couple noté   est un magma. Avec cette définition, l'ensemble   n'est pas identique au magma, mais on les identifie couramment.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On dit que le magma   est :

Si   et   sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de   dans   est par définition[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

 

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de N dans M et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Exemples de magmasModifier

  • Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
  •   est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
  •   est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
  •   est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
  • On appelle magma opposé au magma   le magma    pour tous  .
  • Magma quotient
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments   muni de la loi interne   ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[3].
Magma {0,1,2} muni de  
  0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Magmas libresModifier

On définit par récurrence sur l'entier   une suite d'ensembles   comme suit :

On pose  ; pour     est l'ensemble somme des ensembles   pour  .

L'ensemble somme de la famille   est noté   ; on identifie chacun des ensembles   à son image canonique dans  .

Pour tout élément   de  , il existe un unique entier   tel que  ; on l’appelle la longueur de   et on le note  .

L'ensemble   se compose des éléments de longueur 1 dans  .

Soient   et   dans  ; posons   et  . L'image de   par l'injection canonique de   dans l'ensemble somme   s'appelle le composé de   et   et se note   ou  . On a donc   et tout élément de   de longueur   s'écrit de manière unique sous la forme   avec   et   dans  .

On appelle magma libre[4] construit sur X l'ensemble   muni de la loi de composition  .

Magmas usuelsModifier

Un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles[5].

La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas, mais un anneau n'est pas un magma à proprement parler. Il en est de même d'autres structures algébriques encore plus complexes, comme celle de module sur un anneau.

HistoriqueModifier

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[6] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[7], est aujourd'hui à éviter [8],[9],[10], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Notes et référencesModifier

  1. N. Bourbaki, Algèbre I, chapitres 1 à 3, p. I.12 §2 1, Élément neutre, Définition 2.
  2. N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
  3. (en) V. L. Murskiǐ, « The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities », Soviet Math. Dokl., vol. 6, 1965, p. 1020-1021.
  4. Bourbaki, A I.77, §7, Magmas libres.
  5. Bourbaki, A I.15, §2 3, Éléments inversibles, Définition 6.
  6. (en) B. A. Hausmann et Oystein Ore, « Theory of Quasi-Groups », Amer. J. Math., vol. 59, no 4,‎ , p. 983-1004 (JSTOR 2371362).
  7. Dov Tamari, « Problèmes d'associativité des monoïdes et problèmes des mots pour les groupes », Séminaire Dubreil, vol. 16, no 1,‎ 1962-63 (lire en ligne), exposé no 7, p. 1-29.
  8. (en) « Groupoid », sur Online Dictionary of Crystallography.
  9. (en) Massimo Nespolo, « Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century? », Acta Crystallographica, section A, vol. 64,‎ , p. 97 (DOI 10.1107/S0108767307044625).
  10. (en) L. Beklemishev, M. Pentus et N. Vereshchagin, Provability, Complexity, Grammars, coll. « AMS Translations – Series 2 » (no 192), , 172 p. (traduction anglaise de trois thèses de doctorat en russe, dont la première : [(ru) lire en ligne], 1992).