Ouvrir le menu principal

Élément symétrique

élément associé à un élément primitif tel que la composition de ces deux éléments donné l'élément neutre

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

DéfinitionModifier

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne   admettant un élément neutre  . Soit deux éléments   et   de E.

  • Si  ,   est dit élément symétrique à gauche de   et   est dit élément symétrique à droite de  .
  • Si  ,   est dit élément symétrique de  .

Un élément de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche ; s'il admet au moins un élément symétrique, il est dit symétrisable.

PropriétésModifier

Comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. Un élément peut même, dans le cas général, avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si   est un monoïde (c'est-à-dire si   est associative et si E possède un neutre e pour cette loi) :

  • si un élément b possède un symétrique à gauche a alors b est régulier à gauche car (et de même en remplaçant partout gauche par droite) ;
  • si un élément a possède à la fois un symétrique à gauche b et un symétrique à droite c, alors b = c (et le symétrique est donc unique) carb = b • e = b • (a • c) = (b • a) • c = e • c = c ;Dit autrement : tout symétrique à gauche (b) d'un symétrique à gauche (a) d'un élément c est égal à c (et de même en remplaçant partout gauche par droite) ;
  • les éléments symétrisables de E forment un groupe.

ExemplesModifier

  • Tout nombre réel   possède un symétrique pour l'addition, noté  . Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté  .
  • Si   est un anneau unitaire alors   est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des inversibles de l'anneau et noté   ou  .
  • Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant d'une matrice est nul, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.
  • De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussiModifier