Théorèmes d'isomorphisme

théorèmes fournissant l'existence d'isomorphismes particuliers

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphismeModifier

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes  , on peut rendre   injectif en quotientant   par son noyau.

Intuitivement, quotienter un groupe   par un sous-groupe   revient à « annuler » les éléments de  . En quotientant par le noyau de  , on fait donc en sorte que   ne soit vrai que pour  , ce qui est équivalent à l'injectivité de  .

Avant de parler de morphisme de groupes  , il faut, pour pouvoir parler de groupe quotient  , s'assurer que   est un sous-groupe normal.

Proposition —  Soient   et   deux groupes et soit   un morphisme de groupes. Alors   est un sous-groupe normal de  .

Le fait que   soit un sous-groupe normal de   permet de définir sur le groupe quotient   une loi de groupe compatible avec celle de  . Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes   induit un isomorphisme  .

On peut maintenant énoncer le théorème.

Premier théorème d'isomorphisme —  Soient   et   deux groupes et   un morphisme de groupes. Alors   induit un isomorphisme de   vers  .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme   se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

 
Factorisation d'un morphisme

Deuxième théorème d'isomorphismeModifier

Deuxième théorème d'isomorphisme —  Soient   un groupe,   un sous-groupe normal de   et   un sous-groupe de  . Alors   est un sous-groupe normal de  , et on a l'isomorphisme suivant :

 

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de   contient   (au lieu de le supposer égal à   tout entier).

Troisième théorème d'isomorphismeModifier

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient   un groupe et   et   deux sous-groupes normaux de   tels que   soit inclus dans  . Alors   est un sous-groupe normal de   et on a l'isomorphisme suivant :

 

Voir aussiModifier

RéférenceModifier

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4