Théorèmes d'isomorphisme

théorèmes fournissant l'existence d'isomorphismes particuliers

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphismeModifier

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes  , on peut rendre   injectif en quotientant   par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.

Premier théorème d'isomorphisme[1] —  Soit   un morphisme de groupes. Alors   induit un isomorphisme  .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme   se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

 
Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphismeModifier

Deuxième théorème d'isomorphisme[2] —  Soient   un groupe,   un sous-groupe normal de   et   un sous-groupe de  . Alors   est un sous-groupe normal de  , et on a l'isomorphisme suivant :

 

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de   contient   (au lieu de le supposer égal à   tout entier).

Troisième théorème d'isomorphismeModifier

Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient   un groupe et   et   deux sous-groupes normaux de   tels que   soit inclus dans  . Alors   est un sous-groupe normal de   et on a l'isomorphisme suivant :

 

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple « Premier théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple « Second théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  3. Pour une démonstration, voir par exemple « Troisième théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

Articles connexesModifier