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Antimorphisme

Application entre deux structures algébriques qui reversent les opérations

En mathématiques, un antimorphisme (parfois appelé antihomomorphisme), est une application entre deux structures algébriques qui renverse l'ordre des opérations.

Cas des magmasModifier

Considérons les magmas   et  , c'est-à-dire que   et   sont deux ensembles munis respectivement de deux lois de composition interne notées   et  . Une application   est un antimorphisme de   dans   si

 

Autrement dit, si on définit le magma opposée   par   et

 

alors   est un antimorphisme de   dans   si et seulement si   est un morphisme de   dans  .

  • Dans le cas où   et   est bijective, on dit que c'est un antiautomorphisme.
  • Dans le cas où la loi   est commutative, les notions d'antimorphisme et de morphisme sont les mêmes, ainsi que celles d'automorphisme et d'antiautomorphisme.
  • La composition de deux antimorphismes est un morphisme, puisqu'inverser deux fois l'ordre des opérations préserve l'ordre des opérations. Par contre, la composition d'un antimorphisme avec un morphisme est un antimorphisme (quel que soit le sens de la composition).

Cas des groupesModifier

Pour deux groupes   et   (notés multiplicativement), on dit qu'une application   est un antimorphisme de groupes de   dans   si

 

pour tout  .

Autrement dit,   est un antimorphisme de groupe de   dans   si, et seulement si,   est un morphisme de groupes de   dans  , le groupe opposé de  .

Par exemple, l'application inverse   est un antimorphisme de groupes de   dans lui-même qui est de plus bijective. Ainsi, un groupe est toujours isomorphe à son groupe opposé.

Cas des anneauxModifier

Pour deux anneaux (unitaires)   et  , on dit qu'une application   est un antimorphisme d'anneaux de   dans   si elle est un morphisme vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que

  (en notant respectivement   et   les unités de   et  );
 
 

pour tout  .

Autrement dit,   est un antimorphisme d'anneaux de   dans   si, et seulement si,   est un morphisme d'anneaux de   dans  , l'anneau opposé de  .

Par exemple, l'application transposée entre deux anneaux de matrices est un antimorphisme d'anneaux.

Cas des algèbresModifier

Pour deux algèbres   et   sur un corps  , on dit qu'une application   est un antimorphisme d'algèbres de   dans   si elle est linéaire vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que

 
 
 

pour tout   et  .

Autrement dit,   est un antimorphisme d'algèbres de   dans   si, et seulement si,   est un morphisme d'algèbres de   dans  , l'algèbre opposée de  .

Par exemple, la conjugaison sur l'algèbre réelle des quaternions est un antimorphisme d'algèbres.

Algèbre involutiveModifier

Article détaillé : Algèbre involutive.

Un cas particulier important est le cas où on considère un antiautomorphisme   d'une algèbre   (c'est-à-dire d'un antimorphisme bijectif de   dans lui-même) qui est involutif, c'est-à-dire tel que   est l'identité de  . Si un tel antiautomorphisme existe, on dit que   est une algèbre involutive. Les quaternions, en considérant comme antiautomorphisme involutif la conjugaison, forment une algèbre involutive sur le corps des réels.