Espace mesurable

couple associant un ensemble avec une tribu, sur lequel il est alors possible de définir une mesure

Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable (en théorie des probabilités), est un couple est un ensemble et une tribu sur . Les éléments de sont alors appelés des ensembles mesurables de .

Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure en vue de construire un espace mesuré .

Cas des probabilitésModifier

En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable   est appelé un espace probabilisable, l'ensemble   est appelé l'univers et les éléments de la tribu   sont appelés événements.

L'espace probabilisable  , une fois complété d'une mesure de probabilité   (c'est-à-dire une mesure telle que  ) forme un espace probabilisé  .

ExemplesModifier

Si   un ensemble quelconque :

  •  , où   est l'ensemble des parties de   est un espace mesurable.
  •   est un espace mesurable, où   est la tribu grossière.

Si   est un espace topologique,  , où   est la tribu de Borel de  , est un espace mesurable.

Définitions alternativesModifier

Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, , p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, , p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.