Métrique (mathématiques)

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En mathématiques, un espace métrique est un ensemble muni d'une distance. Toute distance induit une topologie sur un ensemble mais la réciproque est fausse : un espace topologique n'est pas toujours métrisable.

En géométrie différentielle, le mot « métrique » fait référence à une distance compatible avec l'opération externe dans un espace vectoriel. On parle de tenseur métrique (ou « riemannien » ou métrique « pseudo-riemannienne »). L'utilisation du mot « métrique » pour désigner une distance est un anglicisme récent et impropre[réf. souhaitée]

DéfinitionsModifier

Une distance d sur X est dite intrinsèque si deux points quelconques x et y dans X peuvent être joints par un arc rectifiable de longueur arbitrairement proche de d(x, y).

Une distance d sur un groupe commutatif   est dite invariante par translation si

  quels que soient x,y et a dans X.

Sur un groupe non commutatif on a les notions d'invariance à gauche et d'invariance à droite.

ExemplesModifier

Équivalences de distancesModifier

Systèmes axiomatiques alternatifsModifier

Concepts reliésModifier

En géométrie différentielle, on considère les tenseurs métriques, qui peuvent être pensés comme des fonctions distance euclidienne « infinitésimales », et sont définis comme des produits scalaires sur l'espace tangent avec une condition de dérivabilité appropriée. Ils ne sont pas des distances au sens défini dans cet article, mais ils en induisent par intégration. Une variété avec un tenseur métrique est appelé une variété riemannienne. Si on enlève l'exigence que le produit scalaire soit défini positif, on obtient un tenseur métrique pseudo-riemannien, qui s'intègre en une pseudométrique. Ceux-ci sont utilisés dans l'étude géométrique de la théorie de la relativité, où le tenseur est aussi appelé la « distance invariante »[réf. nécessaire].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Metric (mathematics) » (voir la liste des auteurs).