Espace pseudométrique

généralisation d'un espace métrique dans lequel la distance entre deux points distincts peut être nulle

En mathématiques, un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une pseudométrique. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique (alors qu'« espace semimétrique » a un autre sens en topologie).

DéfinitionModifier

Une pseudométrique sur un ensemble   est une application

 

telle que pour tout  ,

  1.   ;
  2.   (symétrie) ;
  3.   (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudométrique est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir   pour des points distincts  .

ExemplesModifier

  • Si   est un écart sur un ensemble  , alors   est une pseudométrique sur   ;
  • Si   est une semi-norme sur un espace vectoriel  , alors   est une pseudométrique sur  . Réciproquement, toute pseudométrique invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme. Un exemple concret d'une telle situation est sur l'espace vectoriel   des fonctions à valeurs réelles   : en choisissant un point  , on peut définir une pseudométrique par  .

Propriétés topologiquesModifier

La topologie pseudométrique[1] associée à une pseudométrique   est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

 .

Un espace topologique est dit « pseudométrisable » s'il existe une pseudométrique dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métriqueModifier

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudométrique, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

 ,

et l'on obtient une distance   sur   en posant :

 .

La topologie de l'espace métrique   est la topologie quotient de celle de  .

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

BibliographieModifier