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En mathématiques, un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique (ou plus généralement d'un écart). C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est dit uniformisable.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une pseudométrique. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique (à ne pas confondre avec la notion d'espace semimétrique) est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique.

DéfinitionModifier

Une pseudométrique sur un ensemble   est une application

 

telle que pour tout  ,

  1.   ;
  2.   (symétrie) ;
  3.   (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudométrique est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudométrique   est un ensemble   muni d'une pseudométrique   (ou plus généralement d'un écart).

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir   pour des valeurs distinctes  .

ExemplesModifier

  • Si   est un écart sur un ensemble  , alors   y est une pseudométrique ;
  • Si   est une semi-norme sur un espace vectoriel  , alors   est une pseudométrique sur  . Réciproquement, toute pseudométrique invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme. Un exemple concret d'une telle situation est sur l'espace vectoriel   des fonctions à valeurs réelles   : en choisissant un point  , on peut définir une pseudométrique par  .

Propriétés topologiquesModifier

La topologie pseudométrique[1] associée à une pseudométrique (ou plus généralement un écart)   est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

 

Un espace topologique est dit « pseudométrisable » s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T0.

Identification métriqueModifier

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudométrique (ou de l'écart), on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

 ,

et on obtient une distance   sur   en posant :

 .

La topologie de l'espace métrique   est la topologie quotient de celle de  .


Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

BibliographieModifier