Espace pseudo-métrique

généralisation d'un espace métrique dans lequel la distance entre deux points distincts peut être nulle
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En mathématiques, un espace pseudo-métrique[1] est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

DéfinitionModifier

Une pseudo-distance sur un ensemble   est une fonction

 

telle que pour tout  ,

  1.   ;
  2.   (symétrie) ;
  3.   (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir   pour des points distincts  .

ExemplesModifier

Espace Pseudo-distance Propriétés et remarques
Un ensemble   quelconque non vide.   Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si   est un singleton.
L'espace   des fonctions à valeurs réelles définies sur  .    est fixé. Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si   est un singleton.
La tribu   d'un espace mesuré    est une mesure finie.    désigne la différence symétrique. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn[2].
La tribu   d'un espace mesuré    est une mesure finie.   si   et   sinon. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus[2].

Cas particuliersModifier

  • Si   est un écart sur un ensemble  , alors   est une pseudo-distance sur  .
  • Si   est une semi-norme sur un espace vectoriel  , alors   est une pseudo-distance sur  . Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiquesModifier

La topologie pseudo-métrique[3] associée à une pseudo-distance   est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

 .

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T0.

Identification métriqueModifier

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

 ,

et l'on obtient une distance   sur   en posant :

 .

La topologie de l'espace métrique   est la topologie quotient de celle de  .

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

BibliographieModifier

Voir aussiModifier