Plongement de Kuratowski
En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).
Théorème de Kuratowski-Wojdysławski modifier
Si (X,d) est un espace métrique, a un point de X et ℓ∞(X) l'espace de Banach des applications bornées de X dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application définie par est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe[1].
Si (X,d) est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant Φ(x)(y) = d(x, y)[2],[3].
On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de ℓ∞(X) constitué des applications bornées continues[4].
Utilisations modifier
Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plans, etc. — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.
Histoire modifier
Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement[5], mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber ℓ∞(X) comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets)[6] et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans ℓ∞(X)[7].
Notes et références modifier
- (en) K. Morita et J.-I. Nagata, Topics in General Topology, Elsevier, , 746 p. (ISBN 978-0-08-087988-8, lire en ligne), p. 49.
- (en) M. Wojdysławski, « Rétractes absolus et hyperespaces des continus », Fund. Math., vol. 32, , p. 184-192 (lire en ligne) (p. 186).
- (en) Karol Borsuk, Theory of Retracts, , Theorem III.8.1.
- (en) Juha Heinonen, « Geometric embeddings of metric spaces », .
- Casimir Kuratowski, « Quelques problèmes concernant les espaces métriques non séparables », Fundam. Math., vol. 25, , p. 534-545 (lire en ligne).
- Maurice Fréchet, « Les dimensions d'un ensemble abstrait », Mathematische Annalen, vol. 68, no 2, , p. 145–168 (ISSN 0025-5831 et 1432-1807, DOI 10.1007/BF01474158, lire en ligne, consulté le )
- Maurice Frechet, « L'Expression la Plus Generale de la "Distance" Sur Une Droite », American Journal of Mathematics, vol. 47, no 1, , p. 1 (DOI 10.2307/2370698, lire en ligne, consulté le )
Voir aussi modifier
Articles connexes modifier
- Enveloppe métrique (en), un plongement d'un espace métrique dans un espace métrique injectif (en), défini de façon analogue au plongement de Kuratowski
- Théorème de la goutte, un exemple d'utilisation
Liens externes modifier
- (en) Richard F. Arens et James Eells, « On embedding uniform and topological spaces », Pacific J. Math., vol. 6, no 3, , p. 397-403 (lire en ligne)
- (en) James Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1, no 3, , p. 353-367 (lire en ligne)
- (en) Kinjirô Kunugui, « Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles », Proc. Imp. Acad., vol. 11, no 9, , p. 351-353 (DOI 10.3792/pia/1195580328)
