Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème de caractérisation séquentielle de la compacité

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Énoncé du théorèmeModifier

Un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

  • Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

DémonstrationModifier

Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que  , X admet un recouvrement par un nombre fini de boules de rayon r, en effet, la compacité séquentielle implique l'impossibilité de l'existence d'une infinité de points distants deux à deux de plus de r.

Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque X est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert   de X admet un sous-recouvrement dénombrable  . Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle,   a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point  , et la suite   n'aurait pas de valeur d'adhérence).

Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le lemme suivant, qui équivaut à l'existence de nombres de Lebesgue (de) d'un recouvrement.

Lemme[1] —  Si   est un recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, alors

 ,

c'est-à-dire qu'il existe des r > 0 tels que toute boule ouverte de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.


Soit X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact. Soit   un recouvrement ouvert de X et soit r fourni par le lemme. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que  . On en déduit alors que la sous-famille finie   recouvre X.

Énoncé dans le cas réelModifier

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Cette propriété n'est que la partie facile du théorème (le « seulement si »), appliquée aux intervalles fermés bornés de ℝ, qui sont compacts d'après le théorème de Borel-Lebesgue. Elle s'applique de même aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie mais dans le cas réel, on peut en donner deux démonstrations plus directes :

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, Éditions Ecole Polytechnique, (ISBN 978-2-73020775-1, lire en ligne), p. 36 ou Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés, Dunod, , 2e éd. (ISBN 978-2-10078120-1, lire en ligne), p. 165, ou suivre le lien ci-dessous vers Wikiversité.
  2. D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 126-127.
  3. F. Denizet, Analyse MPSI, Nathan, (lire en ligne), p. 108.
  4. Démonstration de cette version faible du théorème de Bolzano-Weierstrass sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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Article connexeModifier

Lemme de Cousin

BibliographieModifier

  • Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
  • Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995