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En mathématiques, la notion d'espace quasimétrique généralise celle d'espace métrique. Les quasidistances ou quasimétriques, non nécessairement symétriques, sont fréquentes dans la vie courante, mais rarement utilisées en mathématiques, et le vocabulaire est fluctuant[1].

DéfinitionModifier

Une quasimétrique (ou fonction quasimétrique) sur un ensemble   est une application

 

telle que pour tout  ,

  1.   (séparation) ;
  2.   (inégalité triangulaire) ;

Un espace quasimétrique   est un ensemble   muni d'une quasimétrique  .

Remarques :

  • Une quasimétrique symétrique est une distance.
  • Toute quasimétrique   induit une distance   en posant :
 .

ExempleModifier

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique : la distance d'un endroit à un autre en passant par la route est une quasimétrique.

Notes et référencesModifier

  1. Les quasimétriques sont définies dans (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, New York, Dover, , 2e éd. (1re éd. 1970), poche (ISBN 978-0-486-68735-3). Dans (en) Stefan Rolewicz, Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Dordrecht, Springer, (ISBN 978-90-277-2186-0) elles sont appelées semimétriques, mais ce terme est déjà souvent utilisé pour deux autres généralisations de la notion d'espace métrique : voir espace semimétrique et espace pseudométrique.