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Géométrie projective

domaine mathématique de la géométrie

En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale.

Sommaire

Considérations historiquesModifier

Le mathématicien et architecte Girard Desargues fonde la géométrie projective dans son Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques. Mais on trouve déjà des notions projectives dans les œuvres de Pappus d'Alexandrie (IVe siècle) qui introduit le rapport anharmonique et fait référence à Apollonius de Perga. L'œuvre de Desargues eut peu de succès de son temps, et fut oubliée jusqu’à sa redécouverte par l'éditeur et bibliophile Poudra au milieu du XIXe siècle. Ses contemporains ne comprirent pas la profondeur de ses travaux, à l'exception du jeune Blaise Pascal, qui les poursuit, et démontre en particulier un théorème proche de celui aujourd'hui appelé théorème de Pascal[1].

Poncelet réinvente la géométrie projective au début du XIXe siècle, certainement influencé par la géométrie descriptive enseignée par son professeur à l'école polytechnique, Gaspard Monge. Il publie en 1822 le Traité des propriétés géométriques des figures. Indépendamment, un autre élève de Monge, Joseph Gergonne découvre lui aussi à la même époque certains des principes de la géométrie projective[2]. Poncelet et Gergonne, par des voies différentes, mettent en évidence le principe de dualité, propre à la géométrie projective, où, par exemple, deux droites distinctes du plan sont toujours sécantes.

August Ferdinand Möbius en 1827 introduit les coordonnées homogènes qui permettent d'appliquer les méthodes de la géométrie analytique à la géométrie projective, travail auquel se consacre également Julius Plücker[3]. Parallèlement Jakob Steiner développe l'approche par la géométrie synthétique.

Mais c'est Felix Klein qui, à la fin du XIXe siècle, clarifie le lien entre géométrie projective et géométrie euclidienne. Sous l'influence de son programme d'Erlangen a lieu une évolution conceptuelle majeure ; tandis que, jusque-là, la géométrie était la science des figures, elle devient l'étude des transformations de figures : les géomètres du tournant du siècle se concentrent désormais sur la composition des transformations, la structure de certains groupes de transformations, les invariants de telle ou telle famille de transformations, les axiomes minimaux permettant ces propriétés de transformations.

Aujourd'hui certaines notions élémentaires de géométrie projective sont utilisées dans les systèmes de vision par ordinateur et de rendu graphique, tels que OpenGL.

Aperçu élémentaireModifier

 
Le birapport, qui est invariant par projection centrale, est une notion de géométrie projective.

Pour ceux qui ne désirent qu'un aperçu élémentaire de ce qu'est la géométrie projective par rapport à la géométrie euclidienne ordinaire on peut dire que la géométrie projective est l'étude de ce qui, dans les figures, reste inchangé après projection, alors que la géométrie euclidienne est l'étude de ce qui reste invariant après déplacement (on peut la voir aussi comme la science des figures qui se tracent à la règle et au compas) ; de ce point de vue, la géométrie projective comporte moins d'axiomes que la géométrie euclidienne et par suite elle est plus générale.

La géométrie projective ignore les droites parallèles, les droites perpendiculaires, les isométries, les cercles, les triangles rectangles, isocèles, équilatéraux, etc. ; on peut aussi dire, par exemple, que pour elle, cercles, ellipses et hyperboles ne constituent qu'une seule figure.

Enfin elle est remarquable par le fait qu'il est possible de poser certaines conventions de langage (par exemple appeler parallèles deux droites qui se coupent sur une droite choisie du plan) qui permettent, par la géométrie projective, de retrouver les résultats de la géométrie affine (voir ci dessous).

Espace projectifModifier

Article détaillé : Espace projectif.

Un espace projectif est défini en mathématiques comme l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif correspond à une direction de son regard.

Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine.

Définition vectorielleModifier

Soit   un K-espace vectoriel (K est un corps, en général   ou  ), non réduit à  . On définit sur   la relation d'équivalence suivante :

 .

Alors on appelle espace projectif sur   l'ensemble quotient de   par la relation d'équivalence   :  .

Pour chaque élément   de   on notera   sa classe d'équivalence :  . On a donc :   si et seulement si   et   sont colinéaires.

L'application   est appelée projection canonique.

Plus simplement l'espace projectif   est l'ensemble des droites vectorielles de   ; l'élément   de l'espace projectif est la droite vectorielle de   dont un vecteur directeur est  .

Si   est de dimension finie   alors on dit que   est de dimension finie et on note   la dimension de l'espace projectif. En particulier :

  • Si n=1 alors   est un singleton (dimension nulle) ;
  • Si n=2 alors   est un plan vectoriel et   est appelé droite projective.
  • Si n=3 alors   est appelé plan projectif ; c'est le cadre le plus courant pour faire de la géométrie.

Si l'espace   est l'espace vectoriel de dimension   « typique », c'est-à-dire   alors on a une notation particulière pour l'espace projectif :   au lieu de  .

Définition affineModifier

 
Espace projeté dans un plan projectif

L'aspect formel de la définition vectorielle ne doit pas faire oublier que la notion d'espace projectif est née de la projection centrale et est, avant tout, une notion géométrique. Pour prendre l'exemple de l'espace projectif de  , on peut observer le dessin ci-contre où les points  ,   et   appartiennent au plan affine   (ne passant pas par l'origine). Il faut imaginer un observateur placé en  . Cet observateur voit tous les points de la droite   en  , ceux de la droite   en   et ceux de la droite   en  . Les droites   du plan   ne sont pas vues comme des points de  . Il y a donc bijection entre les droites vectorielles de   non parallèles à   et les points du plan  .

L'espace projectif de   est ainsi en bijection avec un plan affine   ne passant pas par l'origine auquel on ajoute l'ensemble des droites vectorielles de la direction   de  . On peut donc voir un plan projectif   comme constitué d'un plan affine   auquel on ajoute la droite projective ayant pour éléments toutes les droites vectorielles (ou directions) de  , dite dans ce contexte droite à l'infini. Chaque point de la droite à l'infini est alors appelé point à l'infini ou point impropre (les points de   étant les points propres). Cette notion permet, par exemple, de parler, dans un plan, d'intersection entre deux droites quelconques : les droites seront sécantes en un point propre de   ou bien en un point impropre dans le cas où les droites sont parallèles. Dans un plan projectif, n'importe quelle droite peut être choisie comme droite à l'infini, et ce qui induit sur le complémentaire une structure de plan affine. Réciproquement tout plan affine, peut être plongé comme plan affine non vectoriel d'un espace vectoriel de dimension 3, et donc complété en un plan projectif.

Cette notion se généralise à tout espace projectif   de dimension   : c'est un espace affine   de dimension   auquel on adjoint l'ensemble des directions de  .

En particulier, si   =  , la droite projective associée est l'ensemble    est un point extérieur à  , prolongeant les opérations algébriques de la manière suivante :

  • pour tout   de  ,  
  • pour tout   de  ,  

Cette double relation, d'une part avec un espace vectoriel quotienté, d'autre part avec un espace affine complété fait la richesse de l'étude de la géométrie projective. De même, ce double aspect sera important à conserver quand il s'agira de donner des coordonnées aux points de l'espace projectif.

RepérageModifier

Coordonnées homogènesModifier

Article détaillé : coordonnées homogènes.

Dans un espace projectif de dimension n, donc associé à un espace vectoriel de dimension n + 1, chaque point m de   est associé à une famille de vecteurs de E tous colinéaires. Si E est muni d'une base canonique, on appelle coordonnées homogènes du point m, les coordonnées d'un vecteur quelconque x tel que  . Un point possède donc une famille de coordonnées toutes proportionnelles entre elles. Autrement dit, si   est un système de coordonnées homogènes de m, il en est de même de   pour tout élément k non nul de K.

Parmi toutes ces coordonnées, il arrive souvent que l'on en privilégie une pour retrouver un espace affine de dimension n. Parmi tous les représentants de m, on privilégie, par exemple, celui dont la dernière coordonnée vaut 1. Cela revient à dire que l'on a projeté l'espace dans l'hyperplan d'équation  . Si   est un système de coordonnées de m, on privilégie le système de coordonnées  . Cela ne vaut évidemment que si m est un point propre de  .

Les points impropres sont représentés par des systèmes de coordonnées homogènes dont la dernière coordonnée est nulle.

On remarque alors bien là la correspondance entre

  • les points propres de   et les points d'un espace affine de dimension n ;
  • les points impropres de   et les directions d'un espace vectoriel de dimension n ;

Choisir arbitrairement de mettre une coordonnée à 1 dans les coordonnées homogènes permet de définir des cartes différentes.

Repère d'un espace projectifModifier

Article détaillé : repère projectif.

Un espace vectoriel de dimension n se repère par une base de n vecteurs indépendants. Un espace affine de dimension n se repère à l'aide de n + 1 points non liés. Un espace projectif de dimension n se repère à l'aide de n+2 points. On pourrait penser que n+1 points seraient suffisants en prenant par exemple    forme une base de l'espace vectoriel de dimension n+1 associé à l'espace projectif. Les coordonnées d'un point   dans ce repère seraient alors    sont les coordonnées de   tels que   mais il faudrait que ces coordonnées soient indépendantes du représentant choisi pour les vecteurs de la base :  , par exemple, a un autre représentant qui est  . Et dans la base     n'a pas le même système de coordonnées  .

Il faut donc empêcher cette ambiguïté et limiter le choix d'autres représentants des vecteurs de base à des vecteurs colinéaires aux précédents mais de même coefficient de colinéarité. Il suffit pour cela de définir un n+2 ième point correspondant à  . Ainsi, si on choisit d'autres représentants de   avec des coefficients de colinéarité différents, le vecteur   ne sera plus un représentant de  .

Sous-espace projectifModifier

Article détaillé : sous-espace projectif.

Comme il existe des sous-espaces vectoriels d'espace vectoriel ainsi que des sous-espaces affine d'espace affine, il existe de même des sous-espaces projectifs d'espace projectif. Ils sont constitués des projetés des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel associé. On parlera donc de droite projective dans un plan projectif, de plan projectif dans un espace projectif. La règle des dimensions et l'existence de points à l'infini permettent de simplifier les règles d'incidence.

Birapport sur une droite projectiveModifier

Article détaillé : rapport anharmonique.

Si  ,  ,   et   sont quatre points distincts d'une droite projective D, il existe un unique isomorphisme   de D sur   tel que

  •  
  •  
  •  

On appelle birapport de  ,  ,  ,  , noté   la valeur de  .

Si  ,  ,   et   sont quatre points propres distincts de D, on retrouve la définition classique du birapport ou rapport anharmonique :  .


Cette définition du birapport rend aisée la preuve du résultat suivant : les homographies conservent le birapport. Plus précisément :

Invariance projective du birapport[4] — a,b,c et d sont quatre points d'une droite projective D (a, b, c distincts) et e, f, g et h quatre points sur une droite D' (e, f, g distincts) alors il existe une homographie envoyant le premier quadruplet sur le second si et seulement si les birapports [a:b:c:d] et [e:f:g:h] sont égaux.

Transformation projective ou homographieModifier

Article détaillé : application projective.

Les transformations projectives ou homographies sont des transformations étudiées en géométrie projective. Elles s'obtiennent comme composée d'un nombre fini de projections centrales. Elles décrivent ce qui arrive aux positions observées de différents objets quand l'œil de l'observateur change de place. Les transformations projectives ne conservent pas toujours les distances ni les angles mais conservent les propriétés d'incidence et le birapport - deux propriétés importantes en géométrie projective. On trouve des transformations projectives sur des droites, dans des plans et dans l'espace.

Propriété fondamentale : En dimension finie, une transformation projective est entièrement déterminée par l'image d'un repère de l'espace projectif.

Définition analytique d'une homographieModifier

Soient deux espaces projectifs   et   associés respectivement aux espaces vectoriels   et  . On désigne par   et   les projections canoniques de   (resp.  ) sur   (resp.  ).

On peut alors effectuer un « passage au quotient » des applications linéaires injectives de   dans  . Une telle application linéaire   étant donnée on peut définir une application   de   dans   transformant le point   en  ,   désignant un représentant de  . Naturellement pour que cette définition soit cohérente, nous devons vérifier qu'elle ne dépend pas du représentant choisi, ce qui est immédiat vu la linéarité de   et la définition de  .

L'application   est l'homographie associée à  . Elle est de façon plus concise définie par l'égalité :  .

On peut aussi parler plus généralement d'application projective, en n'exigeant pas l'injectivité de l'application linéaire   initiale ; le même procédé de passage au quotient fournira une application définie seulement sur une partie de   :  , et à valeurs dans  . On ne parlera pas alors d'homographie.

Il existe une infinité d'applications linéaires associées à une homographie mais ces applications linéaires forment une droite vectorielle de   puisque   entraîne  .

En dimensions finies p,n, si on dispose d'un système de coordonnées homogènes, une homographie pourra être définie par une classe de matrices non nulles de format (n+1)*(p+1) toutes multiples de l'une d'elles. A étant une de ces matrices et X une matrice-colonnes de coordonnées homogènes de  , AX sera matrice colonne de coordonnées homogènes de   (tout ceci étant donc défini à un facteur près).

Exemple et discussion (géométrie plane).
Nous prenons pour   et   l'espace  .   est le plan projectif  . Envisageons une homographie   définie par la matrice 3*3 A que nous supposons diagonalisable. On peut donc calculer les coordonnées homogènes des transformés de tout point.
Les 3 directions propres sont indépendantes et définissent 3 points invariants par   de  . Ces 3 points ont respectivement comme matrices-colonne de coordonnées homogènes   (vecteurs propres de la matrice, à un facteur non nul près).
Inversement la connaissance de ces 3 points invariants détermine-t-elle l'homographie, c'est-à-dire A, à un facteur près ? Pour cela il faudrait pouvoir calculer les valeurs propres de A (à un facteur de proportionnalité près toujours). Or on n'a évidemment aucun moyen pour cela en ne connaissant que les directions propres.
Par contre si on se donne par exemple le transformé du point de coordonnées homogènes   en le point de coordonnées homogènes  , on aura en désignant par   les valeurs propres de A:   quelconque non nul, ce qui permet bien de calculer en résolvant le système les valeurs propres à un coefficient de proportionnalité près.
Les 4 points (les 3 points invariants plus le 4e défini ci-dessus) définissent un repère projectif (voir plus haut) et la connaissance de la transformation de ce repère projectif détermine entièrement l'homographie.
Exemple d'homographie
Les transformations par polaires réciproques.

TopologieModifier

Si E est un espace vectoriel sur   ou   de dimension finie, on peut définir sur E une topologie issue de la distance induite par la norme   dans le cas réel et   dans le cas complexe.

Cette topologie permet de définir sur l'espace quotient   une topologie, dite topologie quotient. Si   désigne l'application de passage au quotient, on dira qu'une partie   est ouverte si son image réciproque   est ouverte dans  . On vérifie que l'on définit bien ainsi un espace topologique

On montre que   est compact.

On munira donc l'espace projectif P(E) de cette topologie. Elle permet de parler d'homéomorphisme et de remarquer, par exemple, que la droite projective réelle est homéomorphe à un cercle, la droite projective complexe étant homéomorphe à une sphère (voir l'article sphère de Riemann pour un homéomorphisme explicite).

DualitéModifier

Article détaillé : dualité (géométrie projective).

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, son dual E* est aussi un K-espace vectoriel de dimension n. On peut donc associer à l'espace projectif P(E), son dual P(E*). Une droite de P(E*) correspondra à un faisceau d'hyperplans dans P(E). Le passage au dual permet d'inverser un grand nombre de propriétés géométriques.

UtilitéModifier

  1. La géométrie projective a permis de simplifier grandement des théorèmes de géométrie plane comme le théorème de Pappus ou le théorème de Desargues.
  2. Si l'espace projectif, comparé à l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace affine, peut sembler être un objet plus compliqué, il est indéniable que pour de nombreuses situations, l'espace projectif est le bon cadre pour travailler. Pour donner un exemple, si   et   sont deux courbes planes (complexes) de degré respectif   et   alors, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan affine, le théorème de Bézout dit que le nombre de points d'intersection entre   et   est toujours inférieur ou égal à  . En revanche, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan projectif, alors le théorème dit que le nombre de points d'intersection (comptés avec multiplicité) est égal à  . Il y a de nombreuses autres situations où les théorèmes s'énoncent sous une forme plus belle en géométrie projective.
  3. L'infographie tridimensionnelle fait un usage intensif de la géométrie projective, car dans cette géométrie les translations et rotations, c'est-à-dire les transformations du groupe euclidien, s'avèrent être des transformations linéaires, ce qui facilite grandement leur traitement.

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier