Dualité (géométrie projective)

symétrie en géométrie projective
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La dualité projective, créée par Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867), père fondateur[style à revoir] de la géométrie projective, bien que beaucoup moins enseignée que la dualité en algèbre linéaire, est probablement la plus belle notion de dualité que l'on rencontre en mathématiques.[non neutre]

Il s'agit de formaliser la constatation toute simple qu'il y a une analogie - une dualité, justement - entre le fait que par deux points distincts passe une droite et une seule, et le fait que deux droites distinctes se coupent en un point et un seul (à condition de se placer justement en géométrie projective, de sorte que deux droites parallèles se rencontrent en un point à l'infini).

Dualité dans un plan projectifModifier

DéfinitionModifier

Contrairement à la géométrie plane classique où les droites sont des ensembles de points, il vaut mieux considérer en géométrie projective que le plan projectif   est constitué d'un ensemble de points  , d'un ensemble de droites  , et d'une relation indiquant quels points sont sur quelle droite (ou quelles droites passent par quel point). Pour bien comprendre que c'est cette relation qui est importante et non la nature des points et des droites, le mathématicien Hilbert disait : « Il faut toujours pouvoir dire "table", "chaise" et "bock de bière" à la place de "point", "droite" et "plan" » !

Nous considérons dans un premier temps que le plan projectif   est défini de manière axiomatique ; on constate alors que l'on obtient un autre plan projectif en considérant l'objet   dont les "points" sont les droites de   et les "droites" sont les points de  , une droite de   (qui est un point   de  ) passant par un "point" de   (qui est une droite   de  ) lorsque   passe par  .

Voici un point et une droite de   : normal ! Voici un "point" et une "droite" de   dont nous avons dessiné 4 de ses "points".
   

Pour simplifier, au lieu de travailler sur 2 plans différents,   et  , on peut se contenter de travailler sur un seul plan projectif  .

Corrélation ou dualité, déf : Une corrélation est une transformation des points du plan en droites et des droites du plan en points et qui respecte l'incidence.
Polarité, déf : Une polarité est une corrélation involutive, c’est-à-dire que son carré est la transformation identique.

ExemplesModifier

À toute configuration de points et de droites dans   correspond alors dans   une configuration duale obtenue en échangeant les points et les droites, et de même, à tout théorème dans  , correspond un théorème dual. Voici quelques exemples :

Configuration dans   Même configuration vue dans  
2 points   et   et la droite passant par ces deux points, notée   2 droites   et   et leur point d'intersection, noté   (la notation   paraîtrait trop étrange)
3 points alignés 3 droites concourantes
Configuration de Ceva
 

Un triangle de sommets   et trois céviennes   concourant en  

Configuration de Ménélaus
 

Un triangle de côtés   et une ménélienne   rencontrant les côtés en  

Configuration de Desargues

Deux triangles de sommets respectifs   et  , et de côtés   et   (  etc),   les points  ,  ,  ,   les droites  .

Le théorème de Desargues affirme que   sont alignés ssi   sont concourantes.

Configuration de Desargues (qui est donc "auto-duale")

Deux triangles de côtés respectifs   et  , et de sommets   et   (  etc),   les droites  ,  ,  ,   les points  .

Le théorème de Desargues affirme que   sont concourantes ssi   sont alignés.

Configuration de Pappus

Deux triplets de points alignés   et  ,  ,   ; le théorème de Pappus affirme que   sont alignés.

Configuration de "Copappus", ou Pappus-dual

Deux triplets de droites concourantes   et  ,  ,   ; le théorème de "Copappus" affirme que   sont concourantes. (voir figure ci-dessous où on voit que cette configuration est finalement "auto-duale" également)

Remarque : Si l'on convient d'identifier une droite avec l'ensemble de ses points, il faut, pour que la dualité soit parfaite, identifier un point avec l'ensemble des droites qui passent par ce point, autrement dit, identifier un faisceau de droites avec son pôle !

Dualité et birapportModifier

Dualités, corrélations et polaritésModifier

Considérons les homographies de   sur   ; ce sont des bijections   de   sur   qui transforment une droite de   en une "droite" de   ; on peut donc les prolonger en une bijection, toujours notée  , de  , qui transforme un point en une droite et réciproquement, et qui vérifie :  .

De telles applications sont appelées des dualités ou corrélations ; lorsqu'elles sont involutives ( ), elles sont appelées des polarités ou autrefois "transformations par polaires réciproques". Dans ce dernier cas, l'image d'un point est appelé la polaire de ce point, et l'image d'une droite, son pôle.

D'après le théorème fondamental de la géométrie projective, dans le cas réel toute dualité provient d'une homographie (dans le cas général, d'une semi-homographie).

Théorème d'incidence et de réciprocitéModifier

Il y a deux théorèmes importants qui découlent des définitions.

Théorème d'incidence: Si le point A est incident à la droite d, alors le point dual de d est incident à la droite duale de A.

Théorème de réciprocité polaire: Si le point A est sur la polaire du point B, alors B est sur la polaire de A. Ce théorème est plus puissant que le précédent.

Relations avec la dualité en algèbre linéaireModifier

On sait qu'il existe une bijection entre les points de   et les droites vectorielles d'un espace vectoriel   de dimension 3, et une bijection entre les droites de   et les plans vectoriels de   (un point appartenant à une droite si la droite vectorielle est incluse dans le plan vectoriel).

L'orthogonalité entre   et son dual  , ensemble des formes linéaires sur  , qui à tout sous-espace vectoriel de   associe un sous-espace vectoriel de   induit une bijection entre les plans vectoriels de   et les droites vectorielles de  , et entre les droites vectorielles de   et les plans vectoriels de  , qui inverse les inclusions.

Il existe donc une bijection canonique entre les points et droites de   et les droites et plans vectoriels de   qui respecte les incidences : si un plan projectif   est associé à un espace vectoriel  , le plan dual   est bien associé à l'espace vectoriel dual  .

Duale d'une homographieModifier

Une homographie   du plan projectif dans lui-même est une bijection dans l'ensemble des points de  , qui induit une bijection   dans l'ensemble des droites de  , qui est l'ensemble des "points" de   :   est l'homographie duale de   (remarquons que   !) ; on vérifie que si   provient d'un automorphisme   de  , alors   provient de l'automorphisme de   dual de  , appelé plus souvent automorphisme transposé de  .

Utilisation des coordonnéesModifier

Rapportons le plan projectif   à un repère projectif  , qui est associé à une base   de l'espace vectoriel   ; considérons l'isomorphisme   entre   et son dual qui transforme   en la base duale  , lequel induit une dualité entre   et   ; à un point   de   est associé un vecteur défini à une constante multiplicative près de coordonnées   dans   (les coordonnées homogènes de   dans  ), auquel est associé par   la forme linéaire   dont le noyau est le plan d'équation   ;

cette équation est l'équation homogène de la droite   image de   par la dualité ; l'on vérifie qu'inversement, l'image de   est  , ce qui fait que cette dualité est une polarité, définie par :

point de coordonnées homogènes   ↔ droite d'équation homogène :  

le repère dual   de  , associé à   est formé des droites d'équation respectives :  , donc  . Remarquons qu'un point et sa droite polaire ont mêmes coordonnées homogènes, l'un dans  , l'autre dans  .

Dualité associée à une forme bilinéaire, polarité associée à une forme quadratique ou à une coniqueModifier

Soit   une dualité de   vers   provenant d'un isomorphisme   de   vers  . Il est associé à ce dernier une forme bilinéaire non dégénérée sur  , définie par   (noté par le crochet de dualité  ) et cette correspondance est bijective ; la dualité   est dite associée à la forme bilinéaire   (définie à une constante multiplicative près). La matrice de l'isomorphisme   dans une base   et la base duale   est celle de la forme bilinéaire  dans  .

La dualité   est une polarité ssi pour tous points   et   :  , ce qui se traduit sur la forme bilinéaire   par : pour tous vecteurs   et   :   ; on montre que cette dernière condition équivaut à ce que   soit symétrique ou antisymétrique (si le corps est de caractéristique différente de 2).

Toute forme quadratique sur   engendre une forme bilinéaire symétrique, laquelle en engendre une polarité dans  , qui est dite associée à  . Le cône isotrope de   (défini par  ) est un cône du second degré de   lequel engendre une conique projective   dans  . On dit alors par abus que la polarité   associée à   est la polarité par rapport à (C). Remarquons qu'on a alors :  .

Polarité par rapport à un cercle dans le plan euclidienModifier

Considérons un cercle (C) de centre O de rayon a d'un plan euclidien   rapporté à un repère orthonormé   ;   est le complété projectif de   et   son enveloppe vectorielle, rapportée à  .

L'équation cartésienne du cercle est   ; la polarité   par rapport à   est donc associée à la forme quadratique   de   et l'isomorphisme de   sur   est celui qui envoie   sur  

Du point de vue du plan affine  , la polarité   a une définition très simple : au point de coordonnées   correspond la droite d’équation   et l’image d’un point à l’infini est la droite passant par   et perpendiculaire à la direction du point.

 

Et on a les définitions géométriques suivantes : la polaire (droite image par la polarité) d’un point   par rapport au cercle (C) est le lieu des conjugués harmoniques du point par rapport au cercle, lieu défini par la relation   ; c’est la droite orthogonale à la droite   passant par l’inverse   de   par rapport à (C) ; c’est aussi l’axe radical du cercle (C) et du cercle de diamètre   ; quand   est extérieur à  , c’est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de   au cercle (C).

Dualité entre courbesModifier

  Une dualité, qui transforme des points en droites et réciproquement, transforme une courbe   (famille de points) de   en une "courbe" (famille de droites) du plan dual  : mais grâce à la notion d'enveloppe, on retrouve une courbe (famille de points) de   : l'enveloppe de la famille des droites duales, dite courbe duale de  .

Ce qui est remarquable, c'est que lorsque la dualité est une polarité, la duale de la duale est la courbe de départ (autrement dit, la famille des droites polaires des points de la courbe duale enveloppe la courbe de départ).

Ci-contre, une figure illustrant ceci, avec une polarité par rapport à un cercle  .

Cette transformation est une transformation de contact : si une famille de courbes admet une enveloppe, la famille des courbes polaires admet pour enveloppe la polaire de cette enveloppe.

Voir ici pour plus de détails.

Configuration de Pappus, exemple détaillé de dualitéModifier

Pour illustrer géométriquement une dualité quelconque, il faut définir le processus par lequel on transforme un point en droite. Un exemple de dualité simple est donné ci-dessous: on prend le quadrangle (4 points) ACZF, on le transforme en quadrilatère (4 droites) aczf, et pour compléter un peu la figure les droites AC, CZ, ZF de la figure de départ ont été tracées, ainsi que les points d'intersection a*c, c*z et z*f de la figure d'arrivée.

 
Poursuivant le dessin du même exemple, on peut figurer la dualité d'une configuration de Pappus, voir Théorème de Pappus. La configuration de départ est formée des 9 points: AEC DBF XYZ, la configuration d'arrivée est donnée par les 9 droites aec dbf xyz. Dans la configuration de départ on a pris soin de compléter la figure par les 9 droites joignant les points, il s'agit des droites jnp qhk et mgr; de même dans la configuration d'arrivée les intersection des droites donnent naissance aux 9 points JNP QHK MGR.
 

Dualité dans un espace projectif de dimension finieModifier

C'est la généralisation de ce que nous venons de voir dans le plan ; en dimension  , non seulement la dualité échange les points et les hyperplans, mais plus généralement les sous-espaces de dimension   avec ceux de dimension  .

Par exemple, en dimension 3, les points sont échangés avec les plans, et les droites avec elles-mêmes. Le théorème dual de : "par deux points distincts" passe une droite et une seule devient : "deux plans distincts se coupent en une droite". Un tétraèdre de sommets   devient par dualité un tétraèdre de faces   ; dans le premier cas, les points   et   déterminent une arête (celle qui passe par   et  , et dans le deuxième aussi (l'intersection de   et  ).

Plus précisément le dual   d'un espace projectif   de dimension   est l'espace dont les sous-espaces de dimension   sont les duaux de ceux de dimension   de  , et une dualité sur   est une bijection de l'ensemble des sous-espaces projectifs de   dans lui-même qui inverse les inclusions et transforme un sous-espace de dimension   en un de dimension   ; dans le cas réel, une dualité provient d'une homographie de   sur   (d'une semi-homographie dans le cas général).

Tout ce qui a été vu dans le cas plan se généralise ici, en particulier la notion de polarité par rapport à une conique qui devient ici celle de polarité par rapport à une hyperquadrique (non dégénérée).

RéférencesModifier

  • Alain Bigard, Géométrie, Masson, 1998
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
  • Jean Frenkel, Géométrie pour l'élève professeur, Hermann, 1973
  • Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métrique, C&M, (ISBN 978-2916352121)
  • Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, Interéditions, 1993
  • H.S.M. Coxeter, Projective geometry, Springer, 1998(3e édition); c'est en anglais canadien très facile à comprendre, et les pages sur la dualité et la polarité sont claires, bien que très abstraites.
  • Yves Ladegaillerie, Géométrie, Ellipses, 2003