Triangle isocèle

En géométrie, un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Plus précisément, un triangle ABC est dit isocèle en A lorsque les longueurs AB et AC sont égales. A est alors le sommet principal du triangle et [BC] sa base.

Un triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux.

Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, ayant ses trois côtés de même longueur.

Étymologie

Le mot « isocèle » vient du grec iso qui signifie « mêmes » et skelos, « jambes » (le dessin d'un triangle isocèle peut faire penser aux deux jambes d'un dessin de « bonhomme »).

Le Littré qualifie cette orthographe de « barbare », a contrario de « l’orthographe étymologique et correcte isoscèle ».

Propriétés

• Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles égaux est isocèle.
• Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur et la bissectrice toutes issues de A ainsi que la médiatrice de la base [BC] sont confondues. Cette droite est également un axe de symétrie du triangle (et le seul, sauf si le triangle est équilatéral).
• Le centre du cercle circonscrit d’un triangle acutangle décompose celui-ci en trois triangles isocèles.

Formules

Dans un triangle isocèle, si l'on note $a$ la longueur des deux côtés égaux et $b$ la longueur de la base, alors :

• la longueur de la hauteur est donnée par la formule : $h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}$.
• l'aire du triangle est ${\mathcal {A}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}$.
• le périmètre du triangle est $p=2a+b$.

Cas particuliers

• Deux triangles plats peuvent être considérés comme isocèles avec un angle principal de 0° ou de 180°.
• Le triangle équilatéral est un triangle isocèle en chacun de ses sommets, avec des angles de 60°.
• Le triangle isocèle rectangle est aussi appelé demi-carré avec un angle principal de 90°.
• Le triangle d'or avec un angle principal de 36°, et le gnomon d’or (avec un angle principal de 108°) apparaissent dans la construction du pentagone régulier et dans les pavages de Penrose.
• Le triangle isocèle d’angle principal 120° est associé au pavage triakis, dual du pavage hexagonal tronqué.

Annexes

Bibliographie

• Stella Baruk, « Isocèle », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions]

Articles connexes

• Triangle équilatéral
• Triangle rectangle
• Triangle isocèle rectangle

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Isosceles Triangle », sur MathWorld.