Transformation par polaires réciproques

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

DéfinitionModifier

On considère une courbe plane Γ0. La courbe polaire au point M0 (x0(t), y0(t)) de Γ0 par rapport à un cercle (C) (ou de cercle directeur (C)) est l'enveloppe des polaires des points de Γ0 par rapport à (C) ; c'est donc l'ensemble des pôles des tangentes à Γ0 par rapport à (C).

Equations

La polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon r et un point M0 (x0, y0) est la droite des points M (x , y) tels que x0x + y0y = r2.

Si M0(x0(t), y0(t)) est le point courant d'une courbe Γ0, le point courant M(x(t), y(t)) de la polaire de Γ0 est défini, en coordonnées cartésiennes, par

 

soit, en coordonnées complexes :

 

La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une coniqueModifier

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.

PropriétésModifier

  • La transformation par polaires réciproques est une involution : la polaire d'une polaire par rapport au même cercle est égale à la courbe de départ.
  • La polaire n'est pas à confondre avec la courbe inverse. D'ailleurs, l'inverse de la polaire par rapport au même cercle est la courbe podaire.
  • La polaire d'une courbe algébrique est une courbe algébrique dont le degré est égal à la classe de la courbe de départ (c'est-à-dire le degré de l'équation tangentielle).

ExemplesModifier

Courbe de départ Position du centre du cercle directeur par rapport à la courbe de départ Position du centre du cercle directeur par rapport à la polaire Polaire
Droite (polaire du point) Hors de la droite Différent du point Point (pôle de la droite)
Conique[1] Conique
Foyer de la conique Cercle
À l'intérieur de la conique (i.e. dans une région contenant un foyer) Ellipse
À l'extérieur de la conique Hyperbole
Sur la conique Parabole
Cardioïde Point de rebroussement Foyer au 8/9e du segment joignant le point double au sommet Cubique de Tschirnhausen
Centre du cercle conchoïdal Foyer Trisectrice de Maclaurin
Deltoïde Centre Sommet Cubique duplicatrice
Astroïde Centre Centre Cruciforme
Cycloïde à centre Centre Centre Épi
Spirale sinusoïdale de paramètre α Centre Centre Spirale sinusoïdale de paramètre -α/α+1

Extensions aux surfaces tridimensionnellesModifier

Le concept de polaire réciproque peut être étendu aux surfaces dans l'espace ; la surface transformée devient alors une autre surface[2],[3].

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. Jacques Lenthéric, « Théorie générale des polaires réciproques planes », Nouvelles annales de mathématiques, 1re série, vol. 8,‎ , p. 252-266
  2. L. Quantin de la Roëre, « Développables formées avec les normales d'une quadrique », Nouvelles annales de mathématiques, 5e série, vol. 1,‎ , p. 153-159 (lire en ligne)
  3. Pierre Papillon, « Sur les surfaces polaires réciproques des conoïdes », Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 3e série, vol. 25,‎ , p. 239-256 (lire en ligne)
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, (ISBN 978-2-91-635208-4) ;
  • Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet, (ISBN 978-2916352121).