Droite projective

En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1.

En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps , notée , peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel . Cet ensemble s'identifie à la droite à laquelle on ajoute un point à l'infini.

La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps par un anneau.

Coordonnées homogènesModifier

Une droite vectorielle de  , et donc un point de la droite projective  , est définie par un point   de cette droite autre que l'origine. Autrement dit, un point sur la droite projective   est représenté par une paire de la forme :    ne sont pas tous deux nuls. On dit que la paire   est un système de coordonnées homogènes de ce point.

Ce point de   correspond à la droite de   d'équation  .

Deux telles paires   et   représentent donc le même point de   si elles ne diffèrent que par un facteur non nul λ :

 

On a défini ainsi une relation d'équivalence sur   et   est l'ensemble quotient de   par cette relation d'équivalence, ou encore le quotient   de   par l'action par homothéties du groupe multiplicatif  .

On peut K identifier au sous-ensemble de   donné par :

 

(l'élément   de   correspond à la droite de   d'équation  ).

Ce sous-ensemble couvre tous les points de  , excepté le point à l'infini   (correspondant à la droite de   d'équation  ).

HomographiesModifier

Le groupe linéaire   agit bijectivement sur   et cette action passe au quotient. Comme les homothéties donnent l'identité par passage au quotient, on obtient une action du groupe quotient  , noté   et appelé groupe des homographies.

Soit   une application linéaire inversible. L'homographie correspondante   est donnée, avec les conventions du paragraphe ci-dessus, par

  si   est différent de  

Pour   on a  . L'image du point à l'infini est  .

Si  , alors   est une transformation affine : les transformations affines apparaissent comme les homographies qui conservent le point à l'infini.

Deux triplets de points deux à deux distincts   et   étant donnés, il existe une homographie et une seule telle que   : c'est une conséquence directe du fait que le groupe des transformations affines est simplement transitif sur les couples de points distincts.

BirapportModifier

Soient   quatre points distincts. Il existe une homographie et une seule qui envoie   sur  . L'image du quatrième point   est par définition le birapport de ces quatre points, et noté  . Si ces points sont tous différents de  ,

 , d'où le nom. (Comparer à l'article Rapport anharmonique).

Le birapport   est égal à  . Pour les détails, voir [1]

ExemplesModifier

Nombres réelsModifier

Si   est le corps   des nombres réels, alors la droite projective réelle est obtenue en intersectant les droites vectorielles de   avec le cercle unité et en identifiant chaque point de ce cercle au point diamétralement opposé (puisqu'il correspond à la même droite). En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le groupe quotient du cercle par le sous-groupe  .

La topologie de cet espace quotient est celle d'un cercle. On peut en effet le concevoir en imaginant les   et   des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini,  , dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle.

La droite projective réelle diffère donc de la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre   et  .

Nombres complexesModifier

Si le corps   est l'ensemble des nombres complexes, on obtient de même la droite projective complexe comme espace topologique quotient, homéomorphe à la sphère usuelle. Elle est aussi connue sous le nom de sphère de Riemann ou sphère de Gauss. Elle s'identifie au plan complexe   auquel on ajoute un point à l'infini.

C'est l'exemple le plus simple de surface de Riemann compacte. Ceci explique qu'on rencontre souvent la droite projective en analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.

Corps finisModifier

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Si   est le corps corps fini à   éléments, alors la droite projective est constituée de   points. En effet, on peut décrire toutes les droites de  , sauf une, par une équation de la forme   . La droite restante est celle d'équation  .


Notes et référencesModifier

  1. Marcel Berger, Géométrie 1, Paris, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », , 434 p. (ISBN 978-2-84225-145-1)