Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

résultat mathématique

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝn et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : Cm différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée[1] :

.

GénéralisationModifier

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés (  ou  ),   un cône de   et k un élément de K.

Une fonction différentiable   est positivement homogène de degré   si et seulement si[2] :

 .

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple (au choix) :
    • Fonctions de plusieurs variables : cours de Christophe Boilley ;
    • preuve du cas particulier   (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante) dans Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, PPUR, (lire en ligne), p. 301-302 ;
    • preuve de la généralisation ci-dessous.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

Lien externeModifier

Leçon 02 - Cours : Fonctions à plusieurs variables (cours L2 université Paris-Saclay)

Article connexeModifier

Potentiel chimique