Ouvrir le menu principal

Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

résultat mathématique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Euler.
L'identité d'Euler citée ici ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler liant des constantes fondamentales.

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝn et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : Cm différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

[1].

Sommaire

GénéralisationModifier

Soient E et F deux K -espaces vectoriels normés (  ou  ),   un cône de   et k un élément de K.

Une fonction différentiable   est positivement homogène de degré   si et seulement si :

 [2].

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration dans le cas particulier   (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante), voir par exemple Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, PPUR, (lire en ligne), p. 301-302.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

(en) Daron Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth (lire en ligne), chap. 2, p. 29 — Ce manuel n'énonce et ne démontre, sous l'intitulé « Euler's theorem », que le sens « facile » du théorème ci-dessus (le « seulement si »), et seulement pour  , mais ajoute que les dérivées partielles de   sont alors positivement homogènes de degré  .

Lien externeModifier

« 4 Fonctions homogènes » (version du 26 septembre 2007 sur l'Internet Archive) : cours en ligne sur les fonctions homogènes