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Quadriques non dégénérées en dimension 3. De gauche à droite : hyperboloïdes à une et deux nappes, ellipsoïde, paraboloïde hyperbolique, cylindre, paraboloïde elliptique et cône.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l'espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2

les coefficients A à J étant réels, avec A, B, C, D, E, F non tous nuls.

Plus généralement, on peut considérer les quadriques dans le cadre des espaces affines, de dimension 3 ou plus. Ce sont alors des hypersurfaces, lieu d'annulation (en) d'un polynôme de degré 2. On peut également les étudier dans le cadre de la géométrie projective, qui simplifie et unifie complètement les résultats. On peut enfin prendre un autre corps de base que celui des réels.

ClassificationModifier

Présentation des principales quadriquesModifier

Les quadriques non dégénérées[1] sont décrites ci-dessous à partir de leurs équations réduites dans un repère orthonormé convenable.

L'ellipsoïde   ,  
L'hyperboloïde à une nappe (H1)   ,  
L'hyperboloïde à deux nappes (H2)   ,  
Le paraboloïde elliptique (PE)   ,  
Le paraboloïde hyperbolique (PH)   ,  
Le cône à base elliptique   ,  
Le cylindre elliptique   ,  
Le cylindre hyperbolique   ,  
Le cylindre parabolique   .  

Classification généraleModifier

L'équation de la surface peut s'écrire :

 

Q désigne la forme quadratique

 

de matrice :

 

dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque cette matrice est symétrique réelle.

La signature de la forme quadratique est le couple (p,q)p est le nombre de valeurs propres strictement positives de Q et q le nombre de valeurs propres strictement négatives. Le rang de Q est alors p+q. Par définition d'une quadrique, le rang de Q ne peut être nul. Le fait que la signature d'une forme quadratique ne dépende pas du choix de la base choisie est démontré par la loi d'inertie de Sylvester.

Lorsque le rang est égal à 3, la quadrique admet un centre de symétrie.

Rang Signature Quadrique non dégénérée Quadrique dégénérée
3 (3,0) ou (0,3) ellipsoïde   ou point
(2,1) ou (1,2) hyperboloïde à 1 ou 2 nappes ou cône
2 (2,0) ou (0,2) paraboloïde elliptique ou cylindre elliptique   ou droite
(1,1) paraboloïde hyperbolique ou cylindre hyperbolique réunion de deux plans
1 (1,0) ou (0,1) cylindre parabolique   ou plan ou réunion de deux plans

Classification en géométrie affineModifier

Classification en géométrie projectiveModifier

Quadrique en dimension quelconqueModifier

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont  , la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :

 

pour un choix spécifique de Q, P et R.

L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :

 

ApplicationsModifier

En modélisation d'imageModifier

Pour une surface d'équation  , la formule de Taylor-Young fournit une approximation locale de la surface par la quadrique d'équation:

 

avec les notations dites de Monge  

Cette approximation locale est exploitée en modélisation d'images[2], où elle fournit des résultats intéressants[3].

Notes et référencesModifier

  1. Ni vides, ni réduites à un point, une droite, un plan ou l'union de deux plans.
  2. Sylvie Philipp, Modélisation structurale de la texture. Extraction du grain primaire et de sa règle de placement dans Douzième colloque Gretsi, Juan-les-Pins, 1988, Lire en ligne, p. 590.
  3. Alaa Mustafa, Contribution à l'étude des courbures discrètes et de leurs applications, 2008 [Thèse].

Voir aussiModifier

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