Système duodécimal

(Redirigé depuis Base 12)
Comptage duodécimal avec les phalanges.

Le système duodécimal ou dozénal ou base douze est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines et non en dizaines. Le nombre douze est donc écrit 10, représentant une douzaine et aucune unité, alors qu'en base dix, douze serait écrit 12 (pour une dizaine et deux unités). Écrire 12 dans un système duodécimal revient donc à écrire une douzaine et deux unités, soit 14 en base dix.

Ce système a quelques avantages par rapport au système décimal dominant fonctionnant en base dix, dans la mesure où il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 (au lieu de 2 et 5 pour le système en base dix).

Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait que le système en base douze soit plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.

DescriptionModifier

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, suivis de deux symboles variables pour remplacer dix et onze. Il existe de nombreuses situations où A représente dix et B, onze, mais il existe des cas où d'autres symboles sont employés.

À part A et B, on utilise souvent X (dix en chiffre romains) et E (pour eleven, onze en anglais), les chiffres ↊ (deux culbuté) et ↋ (trois culbuté) qui sont proposés par la Dozenal Society, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), les lettres X (comme le chiffre romain) et Y (qui suit la lettre X).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les heures, les œufs ou les huîtres par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

HistoriqueModifier

Historiquement, le nombre douze a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse[4] pour douze douzaines).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

NotationModifier

Le système do-gro-moModifier

Duodécimale Nom Décimal
0;001 emo
0;01 egro
0;1 edo
1 un
10 do
100 gro
1000 mo
Exemples de notations[6]
  • 1212 = 1410 (en effet, 1×12 + 2)
  • 2612 = 3010 (en effet, 2×12 + 6)
  • 3012 = 3610 = 1006 (en effet, 3×12)
  • 5012 = 6010 (en effet, 5×12)
  • 6912 = 8110 (en effet, 6×12 + 9)
  • 7612 = 9010 (en effet, 7×12 + 6)
  • 8512 = 10110 (en effet, 8×12 + 5)
  • 10012 = 14410 (en effet, 1×122)
  • 16012 = 21610 = 10006 (en effet, 1×122 + 6×121)
  • 1A612 = 27010 (en effet, 1×122 + 10×121 + 6)
  • 26512 = 36510 (en effet, 2×122 + 6×121 + 5)
  • 29412 = 40010 = 10020 (en effet, 2×122 + 9×121 + 4)
  • 40012 = 57610 (en effet, 4×122)
  • 57612 = 81010 (en effet, 5×122 + 7×121 + 6)
  • 6B412 = 100010 (en effet, 6×122 + 11×121 + 4)
  • 90012 = 129610 = 100006 (en effet, 9×122)
  • 100012 = 172810 (en effet, 1×123)
  • 11A812 = 200010 (en effet, 1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)
  • 245412 = 409610 = 100016 (en effet, 2×123 + 4×122 + 5×121 + 4)
  • 396912 = 656110 = 100009 (en effet, 3×123 + 9×122 + 6×121 + 9)
  • 460012 = 777610 = 1000006 (en effet, 4×123 + 6×122)
  • 476812 = 800010 = 100020 (en effet, 4×123 + 7×122 + 6×121 + 8)
  • 500012 = 864010 (en effet, 5×123)
  • 789A12 = 1336610 (en effet, 7×123 + 8×122 + 9×121 + 10)
  • 1000012 = 2073610 (en effet, 1×124)
  • 2300012 = 4665610 = 10000006 (en effet, 2×124 + 3×123)
Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire Décimal Duodécimal Vicésimal
140 + 50 = 230 60 + 30 = 90 50 + 26 = 76 30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213 810 - 81 = 729 576 - 69 = 509 20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552 2000 - 60 = 1940 11A8 - 50 = 1158 500 - 30 = 4H0
1130 × 52 = 104000 270 × 32 = 8640 1A6 × 28 = 5000 DA × 1C = 11C0
2400 ÷ 13 = 144 576 ÷ 9 = 64 400 ÷ 9 = 54 18G ÷ 9 = 34
3430 ÷ 13 = 230 810 ÷ 9 = 90 576 ÷ 9 = 76 20A ÷ 9 = 4A
220 = 30544 212 = 4096 210 = 2454 2C = A4G

PuissanceModifier

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 4×3 = 22×3
  • Vicésimal : 10 = 4×5 = 22×5
Puissance de douze par la notation duodécimal
Exposant Duodécimal Equivalent en sénaire Equivalent en décimal Equivalent en vicésimal
1 douze (ou une douzaine) : 10 20 12 C
2 une grosse : 100 202 = 400 122 = 144 C2 = 74
3 une grande grosse : 1 000 203 = 12 000 123 = 1 728 C3 = 468
4 douze grandes grosses : 10 000 204 = 240 000 124 = 20 736 C4 = 2 BGG
5 100 000 205 = 5 200 000 125 = 248 832 C5 = 1B 21C
6 1 000 000 2010 = 144 000 000 126 = 2 985 984 C6 = ID 4J4
7 10 000 000 2011 = 3 320 000 000 127 = 35 831 808 C7 = B3I JA8
8 100 000 000 2012 = 110 400 000 000 128 = 429 981 696 C8 = 6 E77 E4G
9 1 000 000 000 2013 = 2 212 000 000 000 129 = 5 159 780 352 C9 = 40 C8C AHC
A 10 000 000 000 2014 = 44 2400 0000 0000 1210 = 61 917 364 224 CA = 287 93A AB4
B 100 000 000 000 2015 = 1325 2000 0000 0000 1211 = 743 008 370 688 CB = 1 909 A26 6E8
10 1 000 000 000 000 2020 = 30 544 000 000 000 000 1212 = 8 916 100 448 256 CC = H 85E 17G 0CG
-1 0,1 0,03 1/12 1/C
-2 0,01 0,0013 1/144 1/74
-3 0,001 0,000043 1/1728 1/468

FractionsModifier

  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 1 / 4 = 0,3
  • 1 / 6 = 0,2
  • 1 / 8 = 0,16
  • 1 / 9 = 0,14

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

  • 1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)
  • 1 / 7 = 0,186A35 186A35 avec chiffres périodiques
  • 1 / A = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)
  • 1 / B = 0,1 1 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Fraction principale
  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 2 / 3 = 0,8
  • 1 / 4 = 0,3
  • 3 / 4 = 0,9
  • 1 / 5 = 0,2497…
  • 2 / 5 = 0,4927…
  • 3 / 5 = 0,7249…
  • 4 / 5 = 0,9724…
Exemple de calcul
  • Décimal 1/3 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
    • Duodécimal : 84 ÷ 3 = 29,4
  • Hexadécimal 1/3 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
    • Duodécimal : 194 ÷ 3 = 71,4
  • Décimal 1/9 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 9 = 11,11111…
    • Duodécimal : 84 ÷ 9 = B,14
  • Hexadécimal 1/9 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C71C…
    • Duodécimal : 194 ÷ 9 = 24,54
Fraction équivalente de duodécimal et sénaire
Notation décimal Fraction duodécimal Décimale en duodécimal Équivalent en sénaire Fraction sénaire
1/2 1/2 0,6 0,3 1/2
1/3 1/3 0,4 0,2 1/3
1/4 1/4 0,3 0,13 1/4
1/5 1/5 0,24972497… 0,1111… 1/5
1/6 1/6 0,2 0,1 1/10
1/7 1/7 0,186A35186A35… 0,0505… 1/11
1/8 1/8 0,16 0,043 1/12
1/9 1/9 0,14 0,04 1/13
1/10 1/A 0,124972497… 0,0333… 1/14
1/11 1/B 0,1111… 0,0313452421 1/15
1/12 1/10 0,1 0,03 1/20
1/16 1/14 0,09 0,0213 1/24
1/18 1/16 0,08 0,02 1/30
1/24 1/20 0,06 0,013 1/40
1/27 1/23 0,054 0,012 1/43
1/32 1/28 0,046 0,01043 1/52
1/36 1/30 0,04 0,01 1/100
1/48 1/40 0,03 0,0043 1/120
1/54 1/46 0,028 0,004 1/130
1/64 1/54 0,023 0,003213 1/144
1/72 1/60 0,02 0,003 1/200
1/81 1/69 0,0194 0,0024 1/213
1/96 1/80 0,016 0,00213 1/240
1/108 1/90 0,014 0,002 1/300
1/128 1/A8 0,0116 0,0014043 1/332
1/144 1/100 0,01 0,0013 1/400
1/162 1/116 0,00A8 0,0012 1/430
1/192 1/140 0,009 0,001043 1/520
1/216 1/160 0,008 0,001 1/1000
1/243 1/183 0,00714 0,00052 1/1043
1/256 1/194 0,0069 0,00050213 1/1104
1/288 1/200 0,006 0,00043 1/1200
1/324 1/230 0,0054 0,0004 1/1300
1/432 1/300 0,004 0,0003 1/2000
1/486 1/346 0,00368 0,00024 1/2130
1/512 1/368 0,00346 0,000231043 1/2212
1/576 1/400 0,003 0,000213 1/2400
1/648 1/460 0,0028 0,0002 1/3000
1/729 1/509 0,002454 0,000144 1/3213
1/864 1/600 0,002 0,00013 1/4000
1/972 1/690 0,00194 0,00012 1/4300
1/1152 1/800 0,0016 0,0001043 1/5200
1/1296 1/900 0,0014 0,0001 1/10000
1/1458 1/A16 0,001228 0,000052 1/10430
1/1728 1/1000 0,001 0,000043 1/12000
1/1944 1/1160 0,000A8 0,00004 1/13000
1/2187 1/1323 0,0009594 0,0000332 1/14043
1/4096 1/2454 0,000509 0,000015220213 1/30544
1/5832 1/3460 0,000368 0,000012 1/43000
1/6561 1/3969 0,00031B14 0,00001104 1/50213

Différence de décimal ou sénaireModifier

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2ème puissance. Des phénomènes tels que similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.

En système décimal (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

 ,
 ,

et

  =  

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,125", "0,05" et "0,002" respectivement. Cependant,

  et  

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

En système sénaire (= 2 × 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 sont finies :

 ,
 ,

et

  =  

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,043", "0,03" et "0,002" respectivement. Cependant,

  et  

donnent les répétitions 0,111... et 0,05 05...

En système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,16".
1 / 18 (décimal 1 / 20) et 1 / 358 (décimal 1 / 500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;
1 / 3, 1 / 10 (sénaire 1 / 20) et 1 / 90 (sénaire 1 / 300) s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,4", "0,1" et "0,014".
1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et sénaire.

Dans duodécimal 1/8 est de "0,16", le numérateur est un nombre pair. Le système décimal est "2 à la 3ème puissance" pour "5 à la 3ème puissance", le système sénaire est "2 à la 3ème puissance" pour "3 à la 3ème puissance", les facteurs premiers ont une relation un à un. Mais le système duodécimal, lorsque la puissance de 2 est impaire, le numérateur est un multiple de 6.

On peut arguer que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif de annuel (2/36. 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0,000332 en sénaire (332 / 1.000.000 → 332 = 211 en sénaire = 27), mais 0,0048A8 en duodécimal (101.532 / 144.000.000 → 101.532 = 221 en sénaire = 211 en duodécimal).

Plaidoyer pour le dozénalismeModifier

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[7] ont également été proposés.

NotesModifier

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569.
  3. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  4. Grosse sur le wiktionnaire.
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. Notations malheureuses puisque dans « 1212 », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.
  7. « Dozenal clock », sur Dozenal society.

BibliographieModifier