Produit mixte

déterminant d'une famille de vecteurs dans un espace euclidien orienté

En géométrie, le produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope.

Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle.

DéfinitionModifier

Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par  

Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.

Le produit mixte est nul si et seulement si la famille des xi est liée, strictement positif si et seulement si elle constitue une base directe, vaut 1 si elle constitue elle aussi une base orthonormale directe.

Il vérifie l'inégalité de Hadamard

 

Lorsque les vecteurs forment une famille libre, il y a égalité si et seulement si cette famille est orthogonale. Autrement dit, les longueurs des côtés étant données, le parallélotope droit est celui qui a le plus gros volume.

Pour la fabrication de vecteurs particuliers (avec des coefficients 1 et -1) vérifiant le cas d'égalité voir matrice de Hadamard.

Volumes de parallélotopes de dimension inférieure à nModifier

Dans un espace euclidien, et même dans un espace préhilbertien réel de dimension quelconque, les déterminants permettent également le calcul des volumes des parallélotopes de toute dimension finie sous la forme de matrices et déterminants de Gram.

Il s'agit cette fois de volumes non orientés, et il n'est pas possible d'en donner une version orientée.

Lien du produit mixte avec le produit extérieur et la dualité de HodgeModifier

Par dualité de Hodge, il est possible de passer du 0-vecteur 1 à un n-vecteur de la forme produit extérieur des vecteurs d'une base orthonormale directe e1, ..., en. Le produit extérieur de n vecteurs quelconques s'écrit donc

 

Il est également possible de voir l'application produit mixte comme une forme n-linéaire duale de la 0-forme 1

 

Définition générale du produit vectorielModifier

Par utilisation du produit scalaireModifier

Pour tout   de  , l'application   est une forme linéaire. E étant un espace euclidien de dimension finie, il existe un unique vecteur, noté   tel que[1],[2] :

 

Le vecteur   s'appelle produit vectoriel de  .

L'application produit vectoriel est (n-1)-linéaire alternée. Le produit vectoriel s'annule si et seulement si la famille est liée.

Les coordonnées du produit vectoriel sont données par

 

en notant ei les vecteurs de la base orthonormale directe. En d'autres termes, les coordonnées du produit vectoriel sont des cofacteurs de cette matrice.

Par dualité de HodgeModifier

La définition précédente peut être traduite au moyen de la dualité de Hodge de la façon suivante, avec une correspondance entre le produit vectoriel   et le produit extérieur   des n-1 vecteurs  . Le produit vectoriel est l'unique vecteur tel que :

 

On peut aussi écrire, sachant que, pour un (n-1)-vecteur  , on a   :

 

Ceci constitue une définition alternative du produit vectoriel, équivalente à la propriété suivante. Le produit vectoriel   est le seul vecteur tel que, pour tout   de  , on a :

 .

Notes et référencesModifier

  1. Lelong-Ferrand/Arnaudies, Cours de mathématiques, Algèbre, t. I, Dunod, , p. 393
  2. (en) « crossproduct », sur ncatlab.org