Utilisateur:Tanan1/Brouillon

Distributions vectorielles

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Une distribution à valeurs dans l'espace vectoriel ℝm peut se définir comme un élément de   ou, de façon équivalente, un élément de  , les topologies produit correspondantes étant utilisées. La deuxième forme de cette définition permet d'exprimer très simplement les opérateurs de dérivation couramment utilisés dans le domaine des équations aux dérivées partielles en formulation faible et la définition de certains espaces de Sobolev, en particulier les opérateurs gradient ( ), divergence ( ) et rotationnel ( ) lorsque   ; en notant   et  , on a les relations,   :

 

 

 

Lorsque ces distributions sont définies par des fonctions, le résultat de ces dérivations est généralement constitué d'une distribution régulière plus des distributions singulières sur les supports desquelles s'expriment des discontinuités qui concernent, au moins lorsque ces supports sont des surfaces, la trace pour le gradient, la trace normale pour la divergence et la trace tangentielle pour le rotationnel. Ces décompositions sont connues sous la dénomination générique de formules de Green.

Un exemple singulier: Expression de la distribution dans

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Soit V un volume de   limité par une surface S orientée par le vecteur unitaire   dirigé vers l’extérieur. Soient f(x,y,z) et   deux fonctions deux fois continument dérivables. La formule d’Ostrogradsky donne :

 

En effet, on rappelle :  

Et:  
Donc  
Et:  

    d'après le théorème de la divergence.

On rappelle la définition de la dérivée directionnelle dans la direction  
avec:   vecteur unitaire
La dérivée directionnelle de la fonction f dans la direction   est:
 
Il s'en suit:

   

On démontre ensuite que   est une fonction localement sommable sur  .

   

  définit donc une distribution sur  . En vertu du théorème de convergence dominée:
 
Nous savons que la distribution associée au Laplacien de   est nulle dans la boule de rayon r>0. Il s'en suit: : 


Notes et références

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Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,

Voir aussi

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Articles connexes

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Lien externe

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[PDF](en) Lecture Notes on Real Analysis (cours de Master 1 d'introduction aux distributions) par Nicolas Lerner, professeur à Paris 6.