Théorème de Banach-Steinhaus

Le théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations.

La formulation originelle de ce théorème est la suivante[1] :

Théorème — Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Pour qu'une famille d'applications linéaires continues de E dans F soit uniformément bornée sur la boule unité de E, il suffit qu'elle soit simplement bornée sur une partie non maigre de E.

Lorsque E est un espace de Banach (donc de Baire), il suffit donc que la famille soit simplement bornée sur une partie comaigre, comme E lui-même[2].

DémonstrationModifier

Considérons, pour chaque entier naturel n, l'ensemble des vecteurs x de E tels que pour tout indice i, |fi(x)| ≤ n :

 

C'est une intersection de fermés, donc un fermé. L'ensemble sur lequel la famille   est simplement bornée est la réunion de ces An. Si cette réunion est non maigre alors l'un des An n'est pas d'intérieur vide : il existe un entier naturel n0 tel que   contienne une boule fermée de rayon r > 0. Notons a son centre.

Pour tout vecteur unitaire x de E,

 

Par conséquent,   est uniformément bornée sur la boule unité :

 

  est la norme d'opérateur de  .

Exemples d'applicationsModifier

Application aux sommes de RiemannModifier

Soit E l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles, muni de la norme  , de sorte que E est bien un espace de Banach, et F = ℝ. Pour chaque entier naturel n, soit un l'opérateur défini par :

 

Pour toute fonction f,   n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0, 1] en n intervalles égaux. Cette erreur est un   pour les fonctions de classe C1 ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que  , de sorte que   et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc  , ce qui signifie que l'ensemble   n'est pas borné et donc que l'erreur commise   n'est pas un  .

Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.

Application aux séries de FourierModifier

Si f est une fonction (disons continue) de période , on vérifie que la n-ième somme partielle de sa série de Fourier est

  (noyau de Dirichlet).

Fixons x. Pour chaque entier n, la norme de l'application  , vue comme forme linéaire sur l'espace des fonctions continues de période muni de la norme sup, est égale à la n-ième constante de Lebesgue :

 

Or (cf. Intégrale de Dirichlet)

 

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, il existe donc une fonction f telle que   La série de Fourier d'une telle fonction diverge en x.

Si l'on utilise la version forte du théorème de Banach-Steinhaus, on voit même que dans l'espace des fonctions continues -périodiques muni de la topologie de la convergence uniforme, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier diverge en x est comaigre donc dense.

Cet argument est d'autant plus remarquable qu'il n'est pas très facile de trouver des exemples explicites.

Continuité des applications multilinéairesModifier

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels normés et si E ou F est complet, pour qu'une application bilinéaire de E×F dans G soit continue, il suffit qu'elle le soit séparément par rapport à chaque variable[3].

GénéralisationsModifier

Sous sa forme la plus générale (d'où les hypothèses inutiles de convexité locale ont été éliminées), le théorème de Banach-Steinhaus s'énonce comme suit[4] :

Théorème —  Soit K le corps des réels ou des complexes et   un espace vectoriel topologique sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a)   est tonnelé ;
(b) toute partie simplement bornée   de l'ensemble   des applications linéaires continues de   dans un espace vectoriel topologique arbitraire   sur K est équicontinue ;
(c) toute partie simplement bornée   de l'ensemble   des applications linéaires continues de   dans un espace de Fréchet arbitraire   sur K est équicontinue.
Démontrons que (a) implique (b) dans le cas localement convexe (ce qui est la « forme classique » du théorème de Banach-Steinhaus). Soit donc E et F des espaces localement convexes et p une semi-norme continue sur F. Posons  . Puisque H est simplement bornée, on a   pour tout   ; il est clair que q est une semi-norme sur E, semi-continue inférieurement. Comme E est tonnelé, q est une semi-norme continue, donc H est équicontinue.

On notera que la démonstration ci-dessus est fondée, en dernière analyse, sur le théorème de Hahn-Banach et non sur la propriété de Baire. Il existe des espaces tonnelés importants (notamment des limites inductives strictes d'espaces de Fréchet) qui ne sont pas des espaces de Baire, et on peut tout de même utiliser le théorème de Banach-Steinhaus sur ces espaces.

Pour tirer les conséquences pratiques du théorème ci-dessus, le lemme suivant est nécessaire :

Lemme — Soit E et F deux espaces localement convexes, F étant séparé, et H une partie équicontinue de  .

(1) Dans H, les structures uniformes suivantes coïncident :
(a) celle de la convergence simple ;
(b) celle de la convergence uniforme dans les parties précompactes de E.
(2) Si un filtre   sur H converge simplement vers une application   de E dans F, alors   et   converge uniformément vers   dans toute partie précompacte de E.
(3) Supposons l'ensemble   des applications de E dans F muni de la topologie de la convergence simple. Alors l'adhérence   de H dans   est contenue dans   et est équicontinue.
(1) et (2) sont des propriétés générales des ensembles uniformément équicontinus d'applications, et (3) en est une conséquence, en utilisant le « principe de prolongement des identités ».

Corollaire —  (Théorème de Banach-Steinhaus) : Soit   un espace localement convexe tonnelé sur K ou le dual d'un espace de Fréchet, et   un espace localement convexe séparé sur K.

(a) Soit   une suite d'éléments de  , convergeant simplement vers une application   de   dans  . Alors on a  , et   converge uniformément vers   sur toute partie précompacte de  .

(b) Sous les hypothèses considérées, soit plus généralement   un espace métrisable,   une partie de  ,   une application de   dans   et   un point adhérent à   dans  . Si pour tout  ,   existe, alors  .

(c) Si E est tonnelé, soit   un filtre sur  , contenant une partie simplement bornée ou à base dénombrable, et convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors   et   converge uniformément vers u dans toute partie précompacte de E.

Le principe de condensation des singularités s'énonce comme suit[6],[7] :

Théorème —  Soit   et   deux espaces vectoriels topologiques tels que   est un espace de Baire. Si une partie   de   n'est pas équicontinue, l'ensemble des   tels que   n'est pas bornée dans   est comaigre. En conséquence, si   est une suite de parties de   dont aucune n'est simplement bornée, l'ensemble des   tels que   est non borné dans   pour tout entier n est non maigre.

Application aux espaces de MontelModifier

Un espace de Montel est tonnelé, et dans un tel espace, les parties fermées bornées et les parties compactes coïncident. Le théorème de Banach-Steinhaus, sous sa forme générale, a donc la conséquence suivante :

Théorème —  Soit   le dual d'un espace de Montel E.

(a) Dans  , toute suite faiblement convergente est fortement convergente.

(b) Plus généralement, soit   un espace métrisable,   une partie de  ,   une application de   dans   et   un point adhérent à   dans  . Si pour tout  ,   existe, alors   et   dans   fort.

En particulier, soit   (resp.  ) l'espace des distributions à support compact (resp. l'espace des distributions) sur une variété différentiable paracompacte de dimension finie   (par exemple un ouvert de  ) ; puisque l'espace   (resp.  ) des fonctions indéfiniment différentiables (resp. des fonctions indéfiniment différentiables à support compact) sur   est un espace de Montel (mais non de Baire !), les suites faiblement convergentes et les suites fortement convergentes dans   (resp.  ) coïncident, ce qui simplifie beaucoup l'étude de la convergence des suites de distributions (la topologie forte des distributions étant une limite projective d'espaces (DF) compliquée). En effet, pour vérifier qu'une suite de distributions   (dans   ou dans  ) tend vers une limite T, il suffit de vérifier que pour toute fonction test  , la suite de nombres complexes   tend vers  . Il n'est pas nécessaire, alors, de préciser au sens de quelle topologie   tend vers T.

La même conclusion vaut pour l'espace   des distributions tempérées sur  . En effet, l'espace de Schwartz   des fonctions déclinantes est un espace de Montel.

Exemples : convergence de suites de distributionsModifier

Convergence vers la distribution de DiracModifier

Soit  , où i est un entier  , une fonction positive définie sur la droite réelle, dont le support est inclus dans l'intervalle   et dont l'intégrale entre –∞ et +∞ est égale à 1. Ce peut être par exemple la fonction définie par   pour   et   ailleurs ; mais   peut être également une fonction continue, ou même indéfiniment dérivable. Soit  . On a

 

 , d'après la première formule de la moyenne. Par conséquent,    est la distribution de Dirac. En conséquence,   dans   (cette convergence a également lieu dans   et dans  ). C'est la raison pour laquelle on dit parfois, par abus de langage, que « la fonction de Dirac est la fonction qui vaut 0 en dehors de l'origine, qui vaut +∞ en ce point, et dont l'intégrale sur la droite réelle vaut 1 ».

Régularisation d'un signal par un filtre passe-basModifier

Considérons un filtre passe-bas de fonction de transfert  , où p désigne la variable de Laplace. Lorsque la constante de temps   tend vers  ,   tend vers 1. On peut donc penser que pour  , le filtre considéré a un effet régularisant, et que lorsque   diminue cet effet régularisant devient de moins en moins marqué jusqu'à disparaître par passage à la limite. C'est ce que montre le théorème de Banach-Steinhaus, en utilisant le fait que le produit de convolution est continu de   dans   (où   est le sous-espace de   dont les éléments sont les distributions à support positif)[8]. En effet, la réponse impulsionnelle du filtre (à savoir la transformée de Laplace inverse de  ) est  , où   est la fonction de Heaviside. Soit  . On a

 

Puisque   est continue et à support compact, elle est bornée, et le théorème de convergence dominée montre que

 

d'où on déduit que   dans   quand  . Supposons que l'entrée du filtre soit une fonction u localement intégrable, discontinue et à support positif. Alors la sortie du filtre est la convolée  . Cette fonction   est continue[9] et, d'après ce qui précède, converge vers u dans   quand  .

Peigne de DiracModifier

Soit

 

  est la distribution de Dirac au point j, et  . On a

 

Or  , par conséquent (d'après le résultat classique sur les séries de Riemann),   existe pour toute fonction test  . Il s'ensuit que la suite double   converge dans l'espace des distributions tempérées   (muni de sa topologie forte). La limite est le peigne de Dirac (qui est donc une distribution tempérée)

 

Exemple : convergence d'une suite d'hyperfonctionsModifier

Soit

 

et soit    désigne l'espace des germes de fonctions analytiques dans un voisinage de 0 dans   ; il s'agit d'un espace (DFS), qui est donc un espace de Montel, et son dual est l'espace   des hyperfonctions ayant pour support  . On a

 

Le développement de Taylor de   au voisinage de 0 s'écrit

 

et par conséquent cette série entière doit être convergente avec un rayon r suffisamment petit. La suite de nombres complexes   est alors convergente si, et seulement si pour n suffisamment grand,  . Cette condition est satisfaite pour r aussi petit que l'on veut si, et seulement si

 

qui est donc, d'après le théorème de Banach-Steinhaus, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite   converge dans  . On peut donc écrire

 

NotesModifier

  1. Stefan Banach et Hugo Steinhaus, « Sur le principe de condensation des singularités », Fundamenta Mathematicae, vol. IX,‎ , p. 50-61 (lire en ligne), lemme 3.
  2. A fortiori, il suffit que la famille soit une suite d'applications (linéaires continues) simplement convergente. Sur la boule unité, cette suite sera alors uniformément bornée, mais la convergence ne sera pas nécessairement uniforme.
  3. Josette Charles, Mostafa Mbekhta et Hervé Queffélec, Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs : Rappels de cours et exercices corrigés, Dunod, (lire en ligne), p. 46 et 57, exercice II.6.
  4. Adasch, Ernst et Keim 1978, §7.
  5. Bourbaki 2006, §IV.3, cor. de la prop.2
  6. Bourbaki 2006, §III.3, exerc. 10.
  7. Schaefer 1999, p. 117, Chap. III, exerc. 12.
  8. Schwartz 1966, p. 170.
  9. Bourlès 2010, p. 427.

RéférencesModifier