Espace de Schwartz (général)

En mathématiques, un espace de Schwartz (au sens général de ce terme[1]) est un type d'espace vectoriel topologique localement convexe qu'on rencontre fréquemment en analyse et qui a de remarquables propriétés de stabilité. Cette appellation, due à Grothendieck[2], a reçu l'approbation de Schwartz lui-même[3].

DéfinitionModifier

Un espace localement convexe séparé E est un espace de Schwartz si, pour tout voisinage disqué (c.-à-d. équilibré et fermé) U de l'origine, il existe un voisinage disqué V de l'origine qui est précompact pour la topologie définie par la semi-norme définie par U. Cela revient à dire qu'étant donné un voisinage quelconque U de 0, il existe un voisinage V de 0 tel que, pour tout ε > 0, V peut être recouvert par un nombre fini de translatés de l'ensemble εU[2].

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace localement convexe soit un espace de Schwartz est qu'il soit quasi-normable et que toute partie bornée de cet espace soit précompacte.

ExemplesModifier

L'espace   des fonctions déclinantes sur ℝn est un espace de Schwartz, de même que son dual  , c'est-à-dire l'espace des distributions tempérées.

Soit   un ouvert de ℝn ou plus généralement une variété différentielle de dimension finie paracompacte. Les espaces classiquement notés   (espace des fonctions indéfiniment dérivables dans  ), son dual   (espace des distributions à support compact dans  ),   (espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans  ) et son dual   (espace des distributions dans  ) sont des espaces de Schwartz.

Soit   un ouvert de ℂn ou plus généralement une variété complexe de dimension finie paracompacte. L'espace   des fonctions holomorphes dans   est un espace de Schwartz[4].

PropriétésModifier

Les espaces de Schwartz jouissent des propriétés remarquables suivantes : un quotient ou un sous-espace d'un espace de Schwartz est de Schwartz. Le produit d'une famille quelconque d'espaces de Schwartz est de Schwartz. Une limite inductive (non nécessairement stricte) d'une suite d'espaces de Schwartz est un espace de Schwartz.

Par conséquent, soit   un compact dans   (resp.  ). L'espace   (resp.  ), limite inductive des espaces   (resp.  ),  , est un espace de Schwartz.

Par ailleurs, tout espace muni d'une topologie faible est un espace de Schwartz. Le dual fort d'un espace de Montel métrisable est un espace de Schwartz. Tout espace de Fréchet-Schwartz — par abréviation, espace (FS) ; c'est le cas de  , de   et de   – est de Fréchet-Montel, et est donc réflexif ; de plus, il est séparable. Plus généralement, le quotient d'un espace de Fréchet-Schwartz par un sous-espace fermé est un espace de Fréchet-Montel (alors que le quotient d'un espace de Fréchet-Montel par un sous-espace fermé peut ne pas être réflexif, et a fortiori ne pas être un espace de Montel). Dans un espace (FS), une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite soit convergente est qu'elle soit faiblement convergente.

Tout espace nucléaire est un espace de Schwartz[5]. Tous les espaces mentionnés ci-dessus sont nucléaires ; il en va de même de l'espace   des séries formelles en n variables et à coefficients complexes, muni de la topologie de la convergence simple des coefficients (qui en fait un espace de Fréchet) ainsi que de l'espace   des polynômes en n variables à coefficients complexes, muni de sa topologie limite inductive stricte d'espaces   constitués des polynômes de degré inférieur ou égal à k (les   sont de dimension finie, donc   est un espace (LF), limite inductive stricte d'espaces de Fréchet) ;   s'identifie au dual de  [6]. Mais un espace de Fréchet-Schwartz peut ne pas être nucléaire[7].

Le dual fort d'un espace de Fréchet-Schwartz est appelé par abréviation un espace (DFS) ou un espace de Silva. Un tel espace est réflexif. Le quotient d'un espace (DFS) par un sous-espace fermé est un espace (DFS), et un sous-espace fermé d'un espace (DFS) est un espace (DFS). Un espace (DFS) est un espace de Montel complet ; de plus, comme c'est le dual d'un espace de Fréchet-Montel séparable, il est souslinien. Le dual fort d'un espace (DFS) est un espace (FS), donc de Fréchet-Montel[8]. Par exemple, l'espace   des distributions à support compact, et l'espace   des fonctionnelles analytiques dans  , l'espace   des distributions tempérées, l'espace   et l'espace   des fonctions localement holomorphes sur le compact K, sont des espaces (DFS).

Le dual fort d'un espace nucléaire complet qui est limite inductive (non nécessairement stricte) d'une suite d'espaces de Fréchet est nucléaire[9], donc est un espace de Schwartz (ceci s'applique en particulier à  , qui toutefois n'est pas (DFS)).

En revanche, le dual fort d'un espace de Schwartz n'est pas, en général, un espace de Schwartz (de même que le dual fort d'un espace nucléaire peut ne pas être nucléaire[7]). Par exemple, le dual fort E' d'un espace de Fréchet-Montel E qui n'est pas un espace de Schwartz est un espace de Schwartz, mais son dual fort, qui est de nouveau E, n'est pas un espace de Schwartz. Un espace de Schwartz séparé complet est réflexif[10] et son dual fort est ultrabornologique[11] (tandis qu'un espace nucléaire quasi complet est semi-réflexif[12]) ; pour qu'un espace de Schwartz soit réflexif, il faut (comme pour tout espace localement convexe) qu'il soit quasi complet.

Morphismes stricts d'espaces de Fréchet-SchwartzModifier

Soit E et F des espaces de Fréchet et u une application continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes[13] :

(a) u est un morphisme strict (ancienne terminologie : homomorphisme) lorsque E et F sont munis des topologies initiales.

(b) u est un morphisme strict pour les topologies affaiblies   et  .

(c) L'image de u est fermée dans F.

(d) La transposée   est un morphisme strict de   dans   munis des topologies faibles   et  .

(e) L'image de   est fermée dans   muni de la topologie faible  .

Si de plus E et F sont des espaces de Fréchet-Schwartz, les conditions ci-dessus équivalent à[14]

(f)   est un morphisme strict de   dans   munis des topologies fortes   et   (les topologies fortes étant les topologies de la convergence uniforme sur les parties bornées).

Ce qui précède a une conséquence importante relative aux suites exactes. Soit E, F et G trois espaces localement convexes et considérons une suite

(S):  

  et   sont des applications linéaires continues. Elle est dite (algébriquement) exacte si   et (strictement) exacte si elle est (algébriquement) exacte, et si   et   sont des morphismes stricts. Soit la « suite duale »

(S'):  .

On a le résultat suivant[15],[16] :

Si (S) est algébriquement exacte et si   est un morphisme strict (lorsque F et G sont tous deux munis, soit des topologies initiales, soit des topologies affaiblies), (S') est algébriquement exacte.

Si E, F et G sont des espaces de Fréchet et (S) est strictement exacte (lorsque E, F et G sont tous trois munis soit des topologies initiales), alors (S') l'est aussi lorsque  ,   et   sont tous trois munis des topologies faibles.

Si E, F et G sont des espaces de Fréchet-Schwartz, alors (S) est strictement exacte (lorsque F et G sont tous trois munis des topologies initiales) si, et seulement si (S') est strictement exacte lorsque  ,   et   sont tous trois munis des topologies fortes.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. À ne pas confondre avec la notion traitée dans l'article Espace de Schwartz, qui est un cas particulier.
  2. a et b Grothendieck 1954.
  3. Schwartz 1957.
  4. Grothendieck 1973.
  5. Grothendieck 1955, no II.2.1, Cor. 1 du Thm. 6.
  6. Treves 2007.
  7. a et b Grothendieck 1955, no II.2.1, Rem. 7.
  8. Hogbe-Nlend 1970.
  9. Grothendieck 1955, no II.2.3, p. 56.
  10. Propriété citée par Christian Houzel dans son article sur les espaces vectoriels topologiques dans l'Encyclopædia Universalis (§ 6).
  11. Schwartz 1957, p. 43.
  12. Schwartz 1953-1954.
  13. Bourbaki 1981, Th. 1 p. IV.28.
  14. Palamodov 1970, Prop. 7, p. 209.
  15. Bourbaki 1981, rem. p. II.53.
  16. Palamodov 1970, Prop. 8, p. 210.

RéférencesModifier