Soient :
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
, de norme associée notée
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
;
a
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}
une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
est complexe) qui est :
continue sur
H
×
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}
:
∃
c
>
0
∀
(
u
,
v
)
∈
H
2
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
c
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle \exists c>0\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}
,
coercive sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
(certains auteurs disent plutôt
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
-elliptique) :
∃
α
>
0
∀
u
∈
H
a
(
u
,
u
)
≥
α
‖
u
‖
2
{\displaystyle \exists \alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}
;
L
(
.
)
{\displaystyle L(.)}
une forme linéaire continue sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
.
Sous ces hypothèses, il existe un unique
u
{\displaystyle u}
de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
tel que l'équation
a
(
u
,
v
)
=
L
(
v
)
{\displaystyle a(u,v)=L(v)}
soit vérifiée pour tout v de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
:
(
1
)
∃
!
u
∈
H
∀
v
∈
H
a
(
u
,
v
)
=
L
(
v
)
{\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad \forall v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=L(v)}
.
Si de plus la forme bilinéaire
a
{\displaystyle a}
est symétrique , alors
u
{\displaystyle u}
est l'unique élément de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
qui minimise la fonctionnelle
J
:
H
→
R
{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }
définie par
J
(
v
)
=
1
2
a
(
v
,
v
)
−
L
(
v
)
{\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)}
pour tout
v
{\displaystyle v}
de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
, c'est-à-dire :
(
2
)
∃
!
u
∈
H
J
(
u
)
=
min
v
∈
H
J
(
v
)
{\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}
.
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur
f
∈
H
{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}
tel que
∀
v
∈
H
L
(
v
)
=
⟨
f
,
v
⟩
{\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}}\quad L(v)=\langle f,v\rangle }
.
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu
A
∈
L
(
H
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}
tel que
∀
u
,
v
∈
H
a
(
u
,
v
)
=
⟨
A
u
,
v
⟩
{\displaystyle \forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle }
.
La proposition (1) se réécrit alors :
∃
!
u
∈
H
A
u
=
f
{\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad Au=f}
.
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
sur
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif , puis qu'il est surjectif .
Par la coercivité de
a
{\displaystyle a}
et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz , on a pour tout
v
∈
H
{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}
α
‖
v
‖
2
≤
a
(
v
,
v
)
=
⟨
A
v
,
v
⟩
≤
‖
A
v
‖
‖
v
‖
{\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}
d'où
‖
A
v
‖
≥
α
‖
v
‖
{\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}
pour tout
v
{\displaystyle v}
de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
, ce qui montre que A est injectif et d'image fermée . Notons
Z
{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
cette image . Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que
H
=
Z
⊕
Z
⊥
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}
.
Soit ensuite un élément w de
Z
⊥
{\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}
, on a par définition
⟨
A
w
,
w
⟩
=
0
{\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}
et donc :
α
‖
w
‖
2
≤
a
(
w
,
w
)
=
⟨
A
w
,
w
⟩
=
0
{\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}
d'où
w
=
0
{\displaystyle w=0}
. Ainsi,
Z
⊥
{\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}
est réduit à
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
, ce qui montre que A est surjectif.
L'endomorphisme A est bijectif ; il existe donc un unique u de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
tel que
A
u
=
f
{\displaystyle Au=f}
et il est donné par
u
=
A
−
1
f
{\displaystyle u=A^{-1}f}
.
Sans calculer u , on a l'inégalité
‖
u
‖
≤
‖
L
‖
′
α
{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}
où
‖
⋅
‖
′
{\displaystyle \|\cdot \|'}
désigne la norme de l'espace dual
H
′
{\displaystyle {\mathcal {H}}'}
.
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
:
J
(
u
+
w
)
=
J
(
u
)
+
(
a
(
u
,
w
)
−
L
(
w
)
)
+
1
2
a
(
w
,
w
)
{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-L(w){\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}
.
Comme u est l'unique solution de la proposition (1) , cela donne
J
(
u
+
w
)
=
J
(
u
)
+
1
2
a
(
w
,
w
)
{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}
.
Et comme a est coercive, on a :
J
(
u
+
w
)
≥
J
(
u
)
+
α
2
‖
w
‖
2
{\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}
.
On a donc
J
(
u
)
≤
J
(
v
)
{\displaystyle J(u)\leq J(v)}
pour tout
v
∈
H
{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}
, d'où le résultat (2) .
Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
, on cherche
u
n
{\displaystyle u_{n}}
dans
H
n
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}
, un sous-espace de
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
de dimension finie n , alors :
dans le cas où a est symétrique,
u
n
{\displaystyle u_{n}}
est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a ;
si l'on se donne
(
φ
i
)
{\displaystyle (\varphi _{i})}
une base de
H
n
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}
, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
A
_
_
u
n
_
=
b
_
{\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}
avec
A
i
j
=
a
(
φ
j
,
φ
i
)
{\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}
et
b
i
=
L
φ
i
{\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}
.
On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa .
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