Théorie de jauge

concept de physique théorique

En physique théorique, une théorie de jauge est une théorie des champs basée sur un groupe de symétrie locale, appelé groupe de jauge, définissant une « invariance de jauge ». Le prototype le plus simple de théorie de jauge est l'électrodynamique classique de Maxwell.

L'expression « invariance de jauge » a été introduite en 1918 par le mathématicien et physicien Hermann Weyl.

HistoriqueModifier

La première théorie des champs à avoir une symétrie de jauge était la formulation de l'électrodynamisme de Maxwell en 1864 dans A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (en). L'importance de cette symétrie est resté inaperçue dans les premières formulations. De façon similaire, Hilbert a redérivé l'Équation d'Einstein en postulant l'invariance de l'action sous une transformation des coordonnées. Plus tard, lorsque Hermann Weyl a tenté d'unifier la relativité générale ainsi que l'électromagnétisme, il a émis l'hypothèse que l'invariance sous un changement d'échelle (ou de « jauge ») serait en fait une symétrie locale de la relativité générale. Suivant le développement de la mécanique quantique, Weyl, Vladimir Fock et Fritz London ont modifié la jauge en remplaçant le facteur d'échelle par un nombre complexe, transformant ainsi le changement d'échelle en un changement de phase, ce qui est une symétrie de jauge en U(1). Cela permettait d'expliquer l'effet qu'a un champ électromagnétique sur la fonction d'onde d'une particule quantique chargée. Cette transformation de jauge est reconnue comme étant la première théorie de jauge, popularisée par Pauli en 1941[1].

Description mathématiqueModifier

On considère un espace-temps classique modélisé par une variété différentielle lorentzienne à quatre dimensions, pas nécessairement courbe.

Champs de jauge et espaces fibrésModifier

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace fibré différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension plus grande que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'espace de base du fibré.

On considère plus précisément un fibré principal, dont la fibre s'identifie à son groupe de structure qui est un groupe de Lie précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ».

Un champ de jauge A y apparaît comme une connexion, et la forme de Yang-Mills associée F = dA comme la courbure associée à cette connexion.

Quelques groupes de LieModifier

Principaux groupes de LieModifier

  • O(n) est le groupe orthogonal sur ℝ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n réelles orthogonales (vérifiant tMM = In).
  • SO(n) est le groupe spécial orthogonal sur ℝ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 (tMM = In et det M = 1).
  • U(n) est le groupe unitaire sur ℂ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n complexes unitaires (vérifiant M*M = In).
  • SU(n) est le groupe spécial unitaire sur ℂ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n complexes unitaires et de déterminant égal à 1 (M*M = In et det M = 1).

Cas particuliersModifier

Exemples physiquesModifier

Ont été démontrées pertinentes pour le monde réel :

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauge theory » (voir la liste des auteurs).
  1. Wolfgang Pauli, « Relativistic Field Theories of Elementary Particles », Rev. Mod. Phys., vol. 13,‎ , p. 203–32 (DOI 10.1103/revmodphys.13.203, Bibcode 1941RvMP...13..203P, lire en ligne).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

Dans sa chronique "le monde selon..." du 26/06/2014, diffusée sur France culture à 7h18, le physicien Étienne Klein fait référence à l'invariance de jauge, prenant pour illustration la trajectoire courbe d'un ballon de football lors d'un coup franc.

BibliographieModifier

Bibliothèque virtuelleModifier

Bertrand Delamotte, Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations et groupe de Poincaré, cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Université Paris 7) au D.E.A. "Champs, Particules, Matières" , 127 pages

Aspects historiquesModifier

  • (en) John D. Jackson et L. B. Okun, « Historical roots of gauge invariance », dans Review of Modern Physics 73 (2001), 663-680, texte intégral sur arXiv:hep-ph/0012061
  • (en) Lochlainn O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997 (ISBN 0-691-02977-6)
  • (en) Tian Yu Cao, Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-63420-2)

Ouvrage d'introduction à la théorie quantique des champsModifier

Michel Le Bellac, Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Éditions du CNRS, 1988 (ISBN 2-86883-359-4), réédité par EDP Sciences

Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciensModifier

Ouvrage de physique pour mathématiciensModifier

Pierre Deligne et al., Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, AMS, 2000 (ISBN 0-8218-2014-1)