En géométrie différentielle, le groupe de jauge d'un fibré principal est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré principal qui envoient ses fibres en elles-mêmes. La notion de groupe de jauge joue un rôle primordial en théorie de jauge. En particulier, son action de groupe sur un espace de formes de connexions donne lieu à la notion d'espace de module de connexions, nécessaire à la définition de l'homologie de Floer d'instantons.

Définition modifier

Soit   un  -fibré principal sur une variété différentielle   et soit   son action de groupe agissant par la droite.

Le groupe des automorphismes du fibré   est le sous-groupe du groupe des difféomorphismes de   qui se projettent à un difféomorphisme de   :

 

Le groupe des automorphismes du  -fibré principal   est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré   qui préservent l'action de groupe   :

 

Le groupe de jauge de   est le sous-groupe du groupe des automorphismes du  -fibré principal   qui envoient les fibres du fibré en elles-mêmes :

 

Les éléments du groupe de jauge   sont nommés transformations de jauge.

Les transformations de jauge sont en bijection avec les applications  -équivariantes  , pour   l'automorphisme intérieur du groupe structurel   sur lui-même. La correspondance est explicitement donnée par :

 

Les applications  -équivariantes   descendent à des sections   du fibré associé :

 

Lorsque le fibré   est trivialisé via une section trivialisante locale  , les sections   sont trivialisées à des fonctions sur   à valeurs en   :

 

Transformation de jauge d'une forme connexion modifier

Soit   une forme de connexion sur le fibré principal  . Une transformation de jauge   agit par pull-back sur la connexion  :

 

C'est aussi une forme de connexion sur  . Explicitement, un calcul direct montre que la connexion pull-back sur   s'écrit comme :

 

En utilisant une section trivialisante locale   du fibré  , cette dernière équation se tire en bas à   :

 

  et   sont des 1-formes différentielles à valeurs en l'algèbre de Lie   sur  .

En physique, la 1-forme différentielle   est dit être un champ de jauge et la transformation   est nommée transformation de jauge. En particulier, dans le cas où le groupe structurel   est abélien, e.g.   en électromagnétisme, la transformation de jauge s'écrit plus simplement:

 

Applications en physique modifier

En théorie quantique des champs, le groupe de jauge est le groupe de symétrie locale associé à la théorie considérée. Il s'agit du groupe dont les éléments ne changent pas la valeur du lagrangien du système étudié lorsqu'ils s'appliquent au champ qui figure dans le lagrangien.

Les groupes de jauge les plus connus sont le groupe unitaire U(1) pour le champ électromagnétique et les groupes spéciaux unitaires SU(3) pour la chromodynamique quantique, SU(2)xU(1) pour l'interaction électrofaible, SU(3)xSU(2)xU(1) pour le modèle standard.

Voir aussi modifier

Livres modifier

  • 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.