Hermann Weyl

mathématicien et physicien théoricien allemand

Hermann Weyl (/vaɪl/), né le à Elmshorn et mort le à Zurich, est un mathématicien et physicien théoricien allemand du XXe siècle.

Hermann Weyl
Hermann Weyl ETH-Bib Portr 00890.jpg
Hermann Weyl.
Biographie
Naissance
Décès
Voir et modifier les données sur Wikidata (à 70 ans)
ZurichVoir et modifier les données sur Wikidata
Sépulture
Princeton Cemetery (en)Voir et modifier les données sur Wikidata
Nom dans la langue maternelle
Hermann Klaus Hugo WeylVoir et modifier les données sur Wikidata
Nom de naissance
Hermann Klaus Hugo WeylVoir et modifier les données sur Wikidata
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Archives de l'École polytechnique fédérale de Zurich (en) (CH-001807-7:Hs 91)Voir et modifier les données sur Wikidata
Œuvres principales
Tenseur de Weyl, équation de Weyl (d), groupe de Weyl, Algèbre de Weyl, Peter–Weyl theorem (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
signature de Hermann Weyl
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Il fut le premier, dès 1918, à combiner la relativité générale avec l'électromagnétisme en développant la géométrie de Weyl (ou géométrie conforme (en)) et en introduisant la notion de jauge. L'invariance de jauge est à la base du modèle standard et reste un ingrédient fondamental pour la physique théorique moderne. Ses recherches en mathématiques portèrent essentiellement sur la topologie, la géométrie et l'algèbre. Weyl publia également de nombreux travaux sur l'espace, le temps, la matière, la mécanique quantique, la philosophie, la logique, la théorie des nombres et l'histoire des mathématiques.

BiographieModifier

JeunesseModifier

Hermann Klaus Hugo Weyl[n 1] naît à Elmshorn, à proximité de Hambourg en Allemagne, au sein d'une famille de confession luthérienne dont les membres parlent entre eux le bas allemand, qu'Hermann affectionnait tout particulièrement. Son père dirige une petite banque, de son enfance et de sa jeunesse on connaît peu de choses. Entre 1891 et 1894, il va à l'école Bismarck, à Elmshorn, entre Pâques 1895 et Pâques 1904. Il complète ses études pré-universitaires au collège Christianeum de la ville voisine d'Altona. À l'adolescence, faisant preuve d'intérêt et d'aptitude pour les sciences, Weyl s'emploie aussi à lire et à comprendre par ses propres moyens la Critique de la raison pure (1781) d'Emmanuel Kant, ouvrage dont une thèse l'impressionne énormément : l'espace et le temps sont des aptitudes à capter l'intuition des objets matériels, plus que des moyens objectifs dans lesquels (espace) et durant lesquels (temps) ces objets ont leurs coordonnées[2].

Études supérieuresModifier

En 1904, à l'arrivée de Weyl à l'université de Göttingen, l'atmosphère ne peut pas y être plus stimulante. Non seulement David Hilbert y exerce son génie, mais Felix Klein et Hermann Minkowski y rayonnent à ses côtés. Grâce à ces trois personnalités et à de nouvelles recrues, comme Carl Runge en 1904, Göttingen est en train de ravir à Berlin le leadership des mathématiques allemandes. Weyl y demeure de 1904 à son départ pour la Suisse en 1913, où il intègre l'École polytechnique fédérale de Zurich. Il ne s'éloigne de Göttingen que durant le second semestre de 1904-1905 et le premier de 1905-1906 pour étudier à l'université de Munich. C'est un étudiant brillant, ce qui explique sans doute que Hilbert et Minkowski dirigent sa thèse doctorale Équations intégrales singulières, avec une attention particulière pour le théorème de l'intégrale de Fourier. Prête dès , cette thèse est soutenue en 1908. Sur le même sujet, il soumet sa thèse d'habilitation en 1910 et obtient un poste d'enseignant comme privat-docent à Göttingen la même année. Après le décès subit de Minkowski en 1909, Hilbert lui demande de l'aider à éditer les travaux scientifiques du défunt. Ce travail académique, ainsi que le nombre et la variété de séminaires mathématiques qui se tiennent à Göttingen à cette époque, aident à mieux comprendre l'éclectisme de la recherche de Weyl. En philosophie, il suit les cours d'Edmund Husserl[3].

Carrière universitaireModifier

Habilité en qualité de professeur à Göttingen, il consacre l'année universitaire 1911-1912 à dispenser un cours sur la théorie des fonctions selon Riemann, et décide de mettre en forme les notes de ce cours, qu'il publie sous le titre Le concept de surface de Riemann. L'année 1913 est décisive dans la vie de Weyl ; au début de l'année universitaire 1913-1914, il est transféré de l'université de Göttingen à l'École polytechnique fédérale de Zurich (Suisse), où une chaire de mathématiques lui est offerte. C'est enfin celle de son mariage avec Helena Joseph, une jeune fille si intelligente et si belle qu'en certaines occasions son père avait menacé de lui interdire de poursuivre ses études[n 2]. Ils auront deux fils, Fritz Joachim Weyl et Michael Weyl, tous deux nés à Zurich.

Weyl et Einstein font connaissance à l'École polytechnique, où tous deux enseignent[n 3]. À l'époque, Einstein travaille à une version de la théorie de la relativité comprenant en son sein le champ gravitationnel. La Première guerre mondiale ayant éclaté en , Weyl est appelé sous les drapeaux en , mais, démobilisé l'année suivante pour raison de santé, il peut reprendre ses travaux scientifiques à Zurich. Il envisage alors d'aborder des questions de géométrie algébrique. L'annonce, en 1916, de la publication de l'article d'Einstein intitulé Les fondements de la théorie générale de la relativité, attire son attention sur cette question, qui le fascine. Son intérêt pour la théorie de la relativité l'amène à dispenser, durant le semestre estival 1917, un cours sur la question, qu'il publie en 1918 sous le titre Espace, temps, matière, reconnu comme la première exposition systématique de la théorie générale de la relativité, et à propos duquel Einstein affirme qu'il s'agit d'un « chef-d'œuvre symphonique ». En apportant des modifications aux travaux d'Einstein, il va s'en servir pour proposer un nouveau cadre pour la physique, baptisé théorie de jauge ou de calibration de l'espace-temps, dans lequel entrent tout naturellement la théorie du champ gravitationnel d'Einstein et l'électromagnétisme de Maxwell[6].

Durant les dix premières années passées à Zurich, de 1913 à 1923, Weyl poursuit ses recherches entamées à Göttingen et développe ses propres idées en matière de théorie de la relativité, mais il publie également ses travaux les plus importants sur les fondements des mathématiques, une discipline comprenant la logique mathématique et la philosophie des mathématiques. Dans le domaine de la logique mathématique, il publie en 1918 son ouvrage Le Continu, recherches critiques sur les fondements de l'analyse[n 4], où il aborde la construction du système des nombres réels, qui forment une totalité continue, à partir des systèmes naturels, entiers et rationnels, qui forment des totalités discrètes. Dans le domaine de la philosophie des mathématiques, il publie en 1921 son fameux article « Sur la nouvelle crise des fondements des mathématiques », un manifeste en faveur de l'intuitionnisme. Peu après toutefois, il abandonne ce courant et revient au constructivisme modéré de son précédent livre[8].

Vers 1923, ses recherches sur la relativité l'amènent à s'intéresser à l'algèbre, en particulier à la théorie des groupes. En outre, durant cette période, Weyl approfondit les fondements des sciences. En particulier, ses recherches antérieures sur les fondements des mathématiques sont suivies par d'autres, relatives aux bases des sciences naturelles, qui produisent les ouvrages Analyse mathématique du problème de l'espace (1923), Qu'est-ce que la matière ?(1924) et Philosophie des mathématiques et des sciences naturelles (1927), ce dernier ayant un grand retentissement. En 1921, il rencontre le physicien Erwin Schrödinger, avec lequel il noue immédiatement et jusqu'à sa mort des liens d'amitié, que ne parviennent pas à entamer sa liaison avec l'épouse de Schrödinger, tandis qu'Helena Weyl s'attache à d'autres académiciens et artistes de Zurich. Entre 1925 et 1926, il publie trois articles importants dans la revue allemande Mathematische Zeitschrift dans lesquels il parvient à calculer les représentations et les caractères irréductibles de tous les groupes de Lie compacts semi-simples, une classe très importante de groupes infinis comptant de nombreuses applications en géométrie et en physique. Ce travail connaît son apogée en 1927 avec un article écrit avec un de ses élèves, Fritz Peter et publié dans les Mathematische Annalen, contenant un résultat connu sous le nom de théorème de Peter-Weyl. Après avoir étudié les contributions de Schrödinger et Werner Heisenberg, il se prend de passion pour la mécanique quantique. Au second semestre de l'année scolaire 1927-1928, il tient à l'École polytechnique fédérale un séminaire sur le sujet, dont les transcriptions donnent lieu en 1928 à la publication d'un ouvrage renommé, La théorie des groupes et la mécanique quantique, sur les fondements mathématiques de cette théorie. Cette même année, il participe en qualité de conférencier principal au Congrès international de mathématiques de Bologne. Sa conférence porte, bien évidemment, sur la théorie des représentations de groupes continus[n 5],[10]

En 1930, Weyl et sa famille quittent Zurich car David Hilbert vient de prendre sa retraite et a convaincu son ancien élève de lui succéder à l'université de Göttingen. Cela n'a pas dû être facile pour Hilbert, car Weyl apprécie énormément sa vie dans la Suisse tranquille et tolérante[n 6]. Finalement, il accepte, pour se repentir presque immédiatement, à cause de la grande différence entre le cosmopolitisme de Zurich et l'atmosphère nationaliste de Göttingen en 1930. Début 1933, les exactions du NSAPD[n 7], qui jusqu'alors avaient adopté la forme de combats de rue, se transforment en oppression systématique par l'État lui-même. Au cours de cette seconde période de Göttingen, qui débute en 1930 et prend fin en 1933, Weyl ne fournit pas autant de contributions techniques que les années précédentes. Il est toutefois prolifique en matière de conférences à l'intention d'un public sensiblement plus large que celui des professionnels des mathématiques. Il ne les donne cependant pas à Göttingen, mais lors de visites dans d'aitres villes, comme s'il ne se sentait pas libre d'exposer ses idées les plus philosophiques et hétérodoxes qu'en dehors de son lieu de travail. C'est de ces années que datent les cycles Les niveaux de l'infini, premier quadrimestre 1930-1931, à l'université d'Iéna ; Le monde ouvert, deuxième quadrimestre 1930-1931, à l'université Yale ; et Esprit et nature, premier quadrimestre 1933-1934, à l'université de Pennsylvanie[n 8]. En , les nazis expulsent tous les travailleurs d'ascendance juive de l'Institut des mathématiques de l'université de Göttingen. Cela pèse lourdement dans la décision de Weyl de revenir à Göttingen. Voyant le traitement réservé par les autorités à ses confrères juifs et craignant que, bien que non-pratiquants, sa femme comme ses enfants soient considérés comme juifs, Weyl tremble pour leur vie à tous. La chance veut qu'en 1933 le poste de professeur à l'Institute for Advanced Study de Princeton (New Jersey), que Weyl avait décliné en 1932, soit toujours vacant. En dépit de la création récente de l'Institut (1930), Weyl connaissait déjà l'université voisine de Princeton, distante de quelques kilomètres, puisqu'il y avait passé une partie de l'année académique 1928-1929 en qualité de professeur invité de physique mathématique. Il n'a guère de mal à se décider pour cette nouvelle destination, s'y installe avec sa famille et y retrouve des génies comme Albert Einstein et John von Neumann. À cette époque, il ne croit plus en la possibilité d'unification de la gravitation et de l'électromagnétisme.

Il doit s'habituer à sa nouvelle vie aux États-Unis où la pratique de sa langue maternelle lui manque cruellement. Il surmonte toutefois le défi de l'intégration, et s'il croit ne pas dominer l'anglais, nombre de ses étudiants se souviennent de « saint Weyl », comme ils l'appellent, en raison de l'élégance de ses leçons et de ses textes[12],[13],[14].

Dernières annéesModifier

Durant ses années à Princeton, qu'il répartit entre séminaires restreints à l'Institut des études avancées et cours à l'intention des étudiants de l'université de Princeton, tout en assistant à divers congrès, il publie plusieurs monographies qui contribuent à éclairer des questions très diverses, d'algèbre et d'analyse surtout, mais également de philosophie des sciences. En 1939, il publie Les Groupes classiques et, en 1940, Théorie algébrique des nombres, deux textes éminemment algébriques. En 1943 paraît un texte d'analyse intitulé Fonctions méromorphes et courbes analytiques. Enfin, en 1949, la version anglaise augmentée de Philosophie des mathématiques et des sciences de la nature. À la fin de cette période, un des cours qu'il avait dispensé en 1951 à l'université de Princeton donne lieu à Symétrie (1952), un beau livre qui le rapproche du grand public. Le texte, proche de la vulgarisation, contient toutefois plusieurs démonstrations mathématiques.

Le bonheur d'Hermann Weyl à Princeton prend fin brutalement le , avec la mort de son épouse Hella, malade depuis deux ans déjà. À compter d', il passe la moitié du temps à Princeton et l'autre moitié à Zurich. Cette année-là, il épouse en secondes noces la sculptrice Ellen Lohnstein-Bär (1902-1998), veuve du physicien et banquier Richard Bär (1892-1940). Comme Ellen est native de Zurich et que Weyl y conserve des souvenirs et des amitiés, ils y font de longs séjours[n 9] après sa mise à la retraite en 1951, avec de fréquentes visites de Weyl à l'École polytechnique fédérale, où il n'a plus de poste officiel, mais participe à des colloques mathématiques. Weyl décède le à Zurich d'une crise cardiaque qui le terrasse alors qu'il revient du bureau de poste[n 10]. Il est incinéré à Zurich le  ; en 1999, ses cendres sont transférées à Princeton[17].

 
Hermann et Helene Weyl, 1913

TravauxModifier

GéométrieModifier

 
Hermann Weyl (à gauche), avec Ernst Peschl.

En 1913, Weyl publie Die Idee der Riemannschen Fläche (Le concept de surface de Riemann), où il fournit un traitement unifié des surfaces de Riemann. Il est le premier à exposer une définition formelle, non seulement de la surface de Riemann d'une fonction, mais du concept de surface topologique lui-même. Ce travail remarquable est souvent considéré comme l'une de ses principales contributions[18].

En 1918, il introduisit la notion de jauge, première étape de ce qui deviendra la théorie de jauge. En réalité, sa vision était une tentative non réussie de modéliser les champs électromagnétique et gravitationnel comme des propriétés géométriques de l'espace-temps. En définitive, le tenseur de Weyl en géométrie riemannienne a une importance considérable pour dégager les propriétés conformes.

De 1923 à 1938, Weyl étudia les groupes compacts, en termes de représentation matricielle. Il établit en particulier une formule, dite aujourd'hui de Weyl, (en) pour les caractères d'un groupe de Lie compact. Ces travaux se révélèrent fondamentaux pour comprendre la symétrie des lois de la mécanique quantique. Il en posa les bases, donnant naissance aux spineurs, devenus familiers autour des années 1930. Les groupes non compacts et leurs représentations, à l'exemple du groupe de Heisenberg, sont aussi un de ses sujets de préoccupation. Dès lors, les groupes de Lie et leurs algèbres de Lie devinrent une branche à part entière de la géométrie et de la physique théorique.

Le livre Les groupes classiques recouvre les groupes symétriques, les groupes linéaires, les groupes orthogonaux et les groupes symplectiques. C'est Weyl lui-même qui a choisi le terme de symplectique, pour éviter toute confusion avec complexe.

Fondements des mathématiquesModifier

Dans le Continuum[19],[20], en utilisant les travaux de Bertrand Russell, Weyl fut capable de développer l'analyse classique, sans utiliser ni la preuve par contradiction, ni les ensembles infinis de Cantor, ni l'axiome du choix. Pour Weyl, un ensemble fini peut être défini par la liste de ses éléments, mais cela est impossible pour un ensemble infini. Un tel ensemble infini ne peut être défini que par une propriété spécifique commune à chacun de ses éléments. Il échappe aux paradoxes des débuts de la théorie des ensembles en définissant une hiérarchie entre relations et ensembles de divers types. Comme il n'existe qu'une quantité dénombrable de propriétés, il en résulte qu'il ne saurait exister pour Weyl qu'une quantité dénombrable d'ensembles. De plus, si un tel ensemble est non dénombrable, il n'existe pas de certitude qu'il possède une partie dénombrable.

Pour Weyl, la notion primitive sur laquelle se construisent petit à petit les mathématiques est celle de nombre entier. Il rejoint ainsi le point de vue de Kronecker. Les axiomes doivent refléter une conviction intime que l'on porte sur les objets étudiés et ne sont pas de simples postulats sur lesquels se bâtit un jeu hypothético-déductif à la Hilbert. S'il utilise les coupures de Dedekind pour définir un nombre réel comme ensemble de rationnels, il se limite aux coupures définies par une propriété explicite des rationnels qui la composent. Un réel est donc assimilé à une propriété de rationnels. Il refuse d'admettre l'existence générale d'une borne supérieure pour un ensemble borné de réels. En effet, celle-ci ne peut être définie que par une propriété desdits réels, c'est-à-dire une propriété de propriétés de rationnels, notion à laquelle il dénie tout sens.

Ces conceptions conduisirent Weyl à se rattacher au courant intuitionniste de Brouwer. Il publia un article controversé clamant aux côtés de Brouwer « Nous sommes la révolution ». L'article en question popularisa beaucoup plus le point de vue intuitionniste que ne l'avaient fait les travaux originels de Brouwer.

George Pólya et Hermann Weyl firent un pari au sujet de l'avenir des mathématiques lors d'une réunion mathématique à Zurich en . Pour Weyl, dans les vingt années à venir, les mathématiciens admettraient le caractère vague de notions comme le corps des nombres réels, les ensembles et la dénombrabilité, se demandant en même temps si la vérité ou la fausseté de la propriété de la borne supérieure, avait le même contenu que l'interrogation sur les assertions de Friedrich Hegel en philosophie de la nature. L'existence de ce pari a été découverte en 1995 par Yuri Gurevich (en).

Quelques années plus tard, Weyl estima que l'intuitionnisme de Brouwer était un point de vue trop étroit et rejoignit, au moins partiellement, la position de Hilbert. Dans les dernières années de sa vie, il adopta le point de vue d'Ernst Cassirer ; mais il publia très peu d'articles défendant cette nouvelle position.

RelativitéModifier

Weyl suivait de près le développement de la relativité en physique. Même si son approche philosophique avant la Première Guerre mondiale était basée sur la phénoménologie d'Edmund Husserl, et en particulier sur son essai de 1913, Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch : Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie, l'influence dominante sur lui pendant les années 1920, quand il travailla sur la théorie de la relativité et sur ses deux théories unitaires, était celle de Johann Gottlieb Fichte[21].

Œuvres (liste non exhaustive)Modifier

  • (de) Die Idee der Riemannschen Fläche, 1913
  • (de) « Gravitation und Elektrizität », dans Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, janvier-, p. 465
  • (de) Selecta Hermann Weyl (1956), première sélection de textes scientifiques de Weyl[n 11]
  • (en) The continuum : a critical examination of the foundation of analysis, 1918, réimpr. Dover, 1994 (ISBN 978-0-486-67982-2)
  • (fr) Sur la crise contemporaine des fondements des mathématiques, 1921, traduction et présentation par Jean Largeault, Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris, Vrin, 1992, pages 55 à 105 [22]
  • (fr) Remarques et discussion à propos du second exposé de Hilbert sur les fondements des mathématiques, traduction et présentation par Jean Largeault, Intuitionisme et théorie de la démonstration, 1927, pages 165-171 [23]
  • (en) Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, Princeton University Press, (ISBN 978-0-691-14120-6) ; rééd. (en) Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, Princeton University Press, , 311 p. (ISBN 0691141207) ; trad. fr. Philosophie des mathématiques et des sciences de la nature (trad. Carlos Lobo), MetisPresses, coll. « Champcontrechamp », , 384 p. (ISBN 2940563071, EAN 978-2940563074)
  • Symétrie et mathématique moderne, Flammarion, 1952, réimpr. 1964, 1996 (ISBN 978-2-08-081366-4)
  • Temps, espace, matière. Leçons sur la théorie de la relativité générale, Blanchard, 1922, réimpr. 1958, 1979 (ISBN 978-2-85367033-3)
  • K. Chandrasekharan (en) (dir.), Gesammelte Abhandlungen, 4 vol., Berlin etc., Springer, 1968

CitationsModifier

  • « Les problèmes des mathématiques ne sont pas des problèmes isolés dans le vide[trad 1]. »
  • « De nos jours, l'ange de la topologie et le démon de l'algèbre abstraite luttent pour l'âme de chaque branche des mathématiques[trad 2]. »
  • « Mon travail a toujours essayé d'unir la vérité à la beauté, mais quand je devais choisir l'une ou l'autre, je choisissais habituellement la beauté[trad 3]. »

DistinctionsModifier

HommagesModifier

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Ses amis intimes l'appelaient Peter[1]
  2. Hella, comme Weyl l'appelait, était philosophe, disciple du phénoménologue Edmund Husserl et traductrice de littérature espagnole et anglaise[4]
  3. En 1914, ayant accepté un poste à Berlin, Einstein quittera Zurich, au détriment du programme de physique théorique de l'École polytechnique[5]
  4. Cette œuvre, qui était pratiquement achevée en , semble avoir pour origine les leçons d'un cours dispensé par Weyl à l'École polytechnique fédérale de Zurich, durant le premier semestre 1917-1918, sous le titre « Fondements logiques des mathématiques ». Une conférence donnée par David Hilbert le devant la Société mathématique de Suisse, en présence de Weyl, sous le titre « Pensée axiomatique », eut également une influence sur sa rédaction[7]
  5. Il est à nouveau conférencier principal au Congrès international de mathématiques d'Oslo en 1936[9]
  6. Il avait d'ailleurs refusé en 1923 de revenir à Göttingen pour prendre la suite de Felix Klein[9]
  7. Parti national-socialiste des travailleurs allemands[11]
  8. Ces trois cycles de conférences seront publiés ensuite sous forme de livrets[11]
  9. Lors de l'un de ces séjours, plus long que ne le permettaient les États-Unis aux étrangers récemment naturalisés, Weyl perdit la nationalité américaine et ne la récupéra jamais[15]
  10. Cela faisait plus d'un mois qu'il avait fêté son septantième anniversaire, mais, ayant reçu un grand nombre de lettres de félicitations, il devait se rendre à une boîte postale pour envoyer ses remerciements[16]
  11. Il collabora à cette sélection qui sera achevée un mois avant sa mort, décidant ce qu'il fallait y inclure[16]

Citations originalesModifier

  1. (en) « The problems of mathematics are not isolated problems in a vacuum[24]. »
  2. (en) « In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain[25]. »
  3. (en) « My work always tried to unite the truth with the beautiful, but when I had to choose one or the other, I usually chose the beautiful[26]. »

RéférencesModifier

  1. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 15
  2. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 15-16
  3. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 18/20/36
  4. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 53
  5. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 54
  6. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 11/36-37/53-54/56/87
  7. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 105
  8. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 93
  9. a et b Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 150
  10. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 127/135/145/150
  11. a et b Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 152
  12. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 150/152-153
  13. (de) Günther Frei (de) et Urs Stammbach (de), Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich 1913–1930, Birkhäuser, 1992, p. 101–129, aperçu sur Google Livres
  14. (en) Skúli Sigurdsonn, « Journeys in spacetime », dans Scholz 2001, p. 15–47
  15. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 154
  16. a et b Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 155.
  17. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 153-155.
  18. Almira, Ostalé Garcia et Joulia 2019, p. 43
  19. Arnon Avron, « Weyl reexamined : "Das Konitinuum" 100 years later », The Bulletin of Symbolic Logic,‎ (lire en ligne).
  20. Solomon Feferman, « The significance of Herman Weyl's "Das Kontinuum" »
  21. (de) E. Scholz, « Weyl's Infinitesimalgeometrie, 1917–1925 », dans Scholz 2001, p. 48–104 et (en) E. Scholz, « Hermann Weyl's analysis of the “problem of space” and the origin of gauge structures », Science in Context, no 17, 2004, p. 165–197.
  22. pages 55 à 66 pour la présentation de Largeault et pages 67 à 105 pour le texte lui-même
  23. Remarque : L'exposé de Hilbert , Les fondements des mathématiques, 1927, se trouve aux pages 145 à 165 de ce recueil de Jean Largeault.
  24. (en) H. Weyl, « David Hilbert and his mathematical work », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 50, no 9,‎ , p. 612-654 (lire en ligne) (p. 615).
  25. (en) Hermann Weyl, « Invariants », Duke Math. J., vol. 5, no 3,‎ , p. 489–502 (p. 500).
  26. (en) Freeman Dyson, « Obituary », Nature, no 177, 1956, p. 457-458.
  27. Wolfgang Deppert, Kurt Hübner, Arnold Oberschelp et Volker Weidemann (dir.), Exact Sciences and their philosophical foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Francfort-sur-le-Main, Lang, 1988. Présentation de l'éditeur.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Articles connexesModifier

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