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Équation de Dirac

Formule en mécanique quantique

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron. Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire entre la masse et l'impulsion.

ExplicationModifier

Cette équation décrit le comportement de particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Dirac cherchait à transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz, en d'autre termes à la rendre compatible avec les principes de la relativité restreinte.

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin introduite peu de temps avant et permit de prédire l'existence des antiparticules. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule de charge et autres nombres quantiques opposés à celle de l'électron[1]. En 1932, Carl David Anderson, alors qu'il étudiait des photons de haute énergie en provenance de l'espace, constate que l'interaction de ces photons avec la chambre à brouillard produit une particule qui s'identifie à la particule conjecturée par Dirac, le positron[1].

Il est par ailleurs notable que l'opérateur de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques), a en mathématiques un usage indispensable dans le théorème de l'indice démontré en 1963.

Formulation mathématiqueModifier

La véritable équation :

 


m est la masse de la particule, c la vitesse de la lumière,   la constante de Planck réduite, x et t les coordonnées dans l'espace et dans le temps, et ψ(x, t) une fonction d'onde à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un spineur à quatre composants, plutôt que par un simple champ scalaire, du fait des exigences de la relativité restreinte.) Enfin   sont des matrices de dimension   agissant sur le spineur   et appelées matrices de Dirac. En fonction des matrices de Pauli  , on peut écrire les matrices de Dirac, dans la représentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme la représentation de Weyl ou la représentation de Majorana), sous la forme

 

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'opérateur quantité de mouvement   et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée

 

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant   et   (métrique (+---)), auquel cas on a (en adoptant les conventions   et  ) une notation encore plus compacte :

 

où l'on a adopté la notation de Feynman  .

Notes et référencesModifier

  1. a et b Jean-Eudes Augustin, « Électron », dans Encyclopædia Universalis, vol. 8 : Égypte - Étrusques, Paris, Encyclopædia Universalis, , p. 118.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Ouvrages de référenceModifier

Bibliothèque virtuelleModifier

  • Alain Comtet, Équation de Dirac (2004) [lire en ligne] [PDF].
  • J.-Y. Ollitrault, Mécanique quantique relativiste, DEA Champs, particules, matière et Magistère interuniversitaire de physique 2e année (1998-1999) [lire en ligne] [PDF].

Lien externeModifier