Plan de Moore
En mathématiques, le plan de Moore ou plan de Niemytzki — nommé d'après Robert Lee Moore et Viktor Niemytzki — est un espace topologique utilisé comme contre-exemple[1]. Il s'agit en fait d'un demi-plan, muni d'une topologie strictement plus fine que la topologie usuelle.
Définition
modifierSur le demi-plan supérieur Γ = {(p, q) ∈ ℝ2 | q ≥ 0}, on définit une topologie par les voisinages, de la manière suivante :
- si q > 0, les voisinages de (p, q) dans Γ sont les mêmes que ses voisinages dans ℝ×ℝ+ (muni de la topologie produit, induite par la topologie usuelle de ℝ2) ;
- une base de voisinages d'un point (p, 0) de l'axe des abscisses est constituée des {(p, 0)}∪D, pour tout disque ouvert D de ℝ×ℝ+ tangent en (p, 0) à cet axe, i.e. D de la forme {(x, y) ∈ ℝ2 | (x – p)2 + (y – r)2 < r2} pour n'importe quel réel r > 0.
Propriétés
modifier- Le plan de Moore Γ est, par construction, à bases dénombrables de voisinages.
- Il n'est pas de Lindelöf. En effet, l'axe des abscisses Γ0 = ℝ×{0} est un fermé discret non dénombrable.
- Par conséquent, Γ n'est pas à base dénombrable ni σ-compact.
- Il est séparable : ℚ×ℚ+ est dense.
- Il n'est donc pas métrisable, puisque le sous-espace Γ0 n'est pas séparable.
- Il n'est pas localement compact[2] (alors que Γ0 et son complémentaire le sont clairement).
- Il est tout de même complètement régulier.
- Il n'est pas normal, puisqu'il est séparable et possède un fermé discret Γ0 ayant la puissance du continu ou, plus directement, puisque ℚ×{0} et (ℝ\ℚ)×{0} sont deux fermés disjoints non séparés (en) par deux ouverts disjoints.
- Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal), ni métacompact (en) (seulement dénombrablement métacompact).
Notes et références
modifier- (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, , 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), « Example 82: Niemytzki's Tangent Disc Topology »
- (en) « Why is the Moore plane not locally compact », sur Math Stack Exchange
- (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett, , 2e éd., 380 p. (ISBN 978-1-4496-6865-5, lire en ligne), p. 172
- (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, (1re éd. 1970, Addison-Wesley), 384 p. (ISBN 978-0-486-13178-8, lire en ligne)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moore plane » (voir la liste des auteurs).