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Complémentaire (théorie des ensembles)

Ensemble qui contient tous les éléments n'appartenant pas à un ensemble initial
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Complémentaire.
Si l'encadré représente l'ensemble E, la partie bleue est le complémentaire de la blanche.

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie d'un ensemble est constitué de tous les éléments de n'appartenant pas à .

Le complémentaire de est noté , , [réf. nécessaire]. En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de dans , on note .

Si est différent de l'ensemble vide et de , alors et forment une partition de l'ensemble .

Le cas des ensembles finisModifier

Lorsque   est un ensemble fini, la somme des cardinaux de   et   est égale au cardinal de   :

 .

D'où on déduit :

 .
Exemple
Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 - 47 = 3 absents.

Propriétés essentiellesModifier

 
Le complémentaire de   est grisé.

L'ensemble dans lequel on travaille est noté  .   et   sont des sous-ensembles de  .

  •  .
  •  .
  • Un élément de   ne peut être à la fois dans   et dans son complémentaire  , un ensemble et son complémentaire sont donc des ensembles disjoints :
 
  • Tout élément de   est dans   ou dans le complémentaire   de   :
 
  • Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une involution) :
 .
  • Lois de De Morgan ou Dualité :
    • Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :
       .
    • Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :
       .

Articles connexesModifier