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Ensembles disjoints

ensembles n'ayant pas d'éléments en commun

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, et sont deux ensembles disjoints.

Explication et généralisationModifier

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

 

(Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient   un ensemble d'indices, et pour chaque  , un ensemble  . Alors les ensembles de la famille   sont mutuellement disjoints si

 

Par exemple, les singletons de la famille   sont mutuellement disjoints.

Si   est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, et s'il y a au moins deux indices dans I, alors l'intersection de la famille est vide :

 

Cependant, la réciproque est fausse : l'intersection de la famille   est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille de parties non vides de X, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à X.

Voir aussiModifier