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Lemme (mathématiques)

théorème utile pour démontrer d'autres théorèmes
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Lemme.

Un lemme, en mathématiques et en logique mathématique, est un résultat intermédiaire sur lequel on s'appuie pour conduire la démonstration d'un théorème plus important.

ÉtymologieModifier

Dans l'Antiquité, lemme était un terme de logique : il désignait la majeure du syllogisme, c'est-à-dire la première assertion. Dans la dialectique grecque, le lemme, le prolemme et l'épiphore sont les trois parties de l'argument.

Par extension, lemme désigne en mathématiques l'un des arguments de la preuve sans en être le fondement puis, plus généralement, un résultat intermédiaire utile à la démonstration d'un théorème[1].

PrincipeModifier

En effet, la méthode de démonstration d'un théorème est souvent la suivante :

  1. on veut démontrer le théorème T à partir d'une certaine liste d'axiomes et d'autres résultats déjà démontrés mais cela n'a pas l'air évident au premier abord,
  2. mais on se dit que, si on savait L vrai (L étant alors une autre assertion dénommée lemme), on pourrait conclure immédiatement étant donné les règles de logique admises,
  3. on pose alors L comme le résultat à démontrer et on lui applique une méthode de démonstration de théorème,
  4. une fois L démontré, on en déduit T.

Ce principe est notamment utilisé par les logiciels appelés assistants de preuve tels Coq ou PVS.

Certains lemmes démontrés deviennent plus célèbres que le théorème pour lequel ils ont été créés et restent connus sous le nom « Lemme de XXX » bien que jouant habituellement un rôle de théorème.

Exemples de lemmes célèbresModifier

Notes et référencesModifier

  1. Bertrand Hauchecorne, Les mots et les maths. Dictionnaire historique et étymologique du vocabulaire mathématique., ellipses (ISBN 2-7298-1528-7)

Article connexeModifier